Sözlük

Select one of the keywords on the left…

Üçgenler ve TrigonometriTrigonometri

Tüm Adımları Göster

Şu ana kadar üçgenin açıları arasındaki ilişki (e.g. toplamları her zaman 180°’dir.) ile kenarları arasındaki ilişkiyi (e.g. Pisagor) gördük. Ancak üçgenin kenarları ile açıları arasındaki bağıntı hakkında herhangi bir şey söylemedik.

Örneğin, eğer üçgenin üç kenarını biliyorsam, açılarının ölçüsünü nasıl bulabilirim – üçgeni çizip açıölçer kullanarak ölçmeden ? İşte tam burada Trigonometri devreye girer!

IDik açılı bir üçgen hayal edin, diğer iki açıdan birini de bildiğinizi varsayın, α. En uzun kenara hipotenüs denildiğini biliyoruz. Diğer iki kenar genelde komşu ( α açısının yanında bulunan kenar) ve karşı ( α açısının karşısında bulunan kenar) olarak adlandırılır.

Açıları α ve 90° olan çok çeşitli sayıda üçgen vardır, fakat AA Şartından hepsinin benzer olduğunu biliyoruz:

Tüm bu üçgenler benzer olduğu için kenarlarının orantılı olduğunu biliyoruz. Dahası, tüm bu üçgenler için aşağıdaki oranlar aynıdır:

KarşıHipotenüsKomşuHipotenüsKarşıKomşu

Bunu özetlemeye çalışalım: α için belirli bir değer seçtik ve dik açılı benzer birçok üçgen elde ettik. Bu üçgenlerin hepsinin kenarlarının oranları aynı. α bizim tek değişkenimiz olduğundan bu oranlar ile α arasında bir ilişki olmalı.

Bu ilişkiler Trigonometrik fonksiyonlardır – ve üç tanedir:

Bu üç Trigonometrik fonksiyon, dik açılı üçgenlerin kenarlarının oranları ve açıları arasındaki ilişkilerdir. Her birinin adı vardır, 3-harfli kısaltmalardan oluşurlar:

  • Sinüs:
    sinα=KarşıHipotenüs
  • Kosinüs:
    cosα=KomşuHipotenüs
  • Tanjant:
    tanα=KarşıKomşu

YAKINDA – Trigonometri üzerine daha fazla

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

YAKINDA – Ters Fonksiyonlar

Sinüs ve Kosinüs Kuralları

Şu ana kadar Trigonometriyi dik üçgenlerde gördünüz. Ama çoğu üçgen dik değildir ve her üçgen için çalışan iki önemli, sonuç vardır

Sinüs Kuralı
Kenarları a, b ve c olan ve açılarıA, B ve C olan bir üçgende,

sinaa=sinbb=sincc

Kosinüs Kuralı
Kenarları a, b ve c olan ve açılarıA, B ve C olan bir üçgende,

c2=a2+b22abcosC
b2=c2+a22cacosB
a2=b2+c22bccosA

YAKINDA – Kanıt, örnek ve uygulamalar

Büyük Trigonometrik Araştırma

Giriş bölümünde dünya üzerindeki en yüksek dağı bulma çalışmasını hala hatırlıyor musunuz? Trigonometri sayesinde, sonunda bunu yapmak için yeterli aracımız var!

Hindistan’daki araştırmacılar aralarında 5 km fark olan iki farklı pozisyondan dağın tepesine açı ölçümü yaptılar. Sonuçlar 23° ve 29°’di.

α açısının bir bütünler açı olduğunu bildiğimiz için, onun ° olması gerektiğini biliyoruz. Şimdi üçgenin iç açıları toplamından yola çıkarak β açısının ° olduğuna ulaşabiliriz.

Artık üçgenin üç açısını da biliyoruz, kenarlardan birini bildiğimiz gibi. Bu d mesafesini bulmak için sinüs kuralınıkosinüs kuralını kullanmak için yeterli:

sin151°d5=sin5d
d=sin151°×5sin
=23.2 km

Son bir adım kaldı: şuna bakalım büyük dik açılı üçgen. Hipotenüsün uzunluğunu zaten biliyoruz,ama asıl ihtiyacımız olan karşıkomşu kenar. Bunu sin fonksiyonunun tanımını kullanarak bulabiliriz:

sin23°=yükseklik2323yükseklik
height=sin23°×23
=8.987 km

Ve bu aslında Dünya’nın en yüksek dağı olan Everest Dağı’nın yüksekliğine oldukça yakın bir değer: 8,848m.

Bu açıklama Büyük Trigonometrik Araştırma üzerinde çalışan matematikçiler ve coğrafyacılar tarafından yapılan olağanüstü çalışmaları büyük ölçüde kolaylaştırmaktadır. Deniz seviyesinden başladılar, binlerce kilometre mesafedeki uzaklıkları ölçtüler, tüm ülke genelinde araştırma kuleleri inşa ettiler ve hatta Dünya’nın eğriliğini bile hesapladılar.