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Dreiecke und TrigonometrieTrigonometrie

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Bisher haben wir Beziehungen zwischen den Winkeln von Dreiecken (z.B. summieren sie sich immer auf 180°) und Beziehungen zwischen den Seiten von Dreiecken (z.B. Pythagoras) betrachtet. Aber wir haben nichts, was die Größe von Winkeln und Seiten miteinander verbindet.

Wenn ich zum Beispiel die drei Seiten eines Dreiecks kenne, wie finde ich die Größe seiner Winkel - ohne das Dreieck zu zeichnen und mit einem Winkelmesser zu messen - hier kommt die Trigonometrie ins Spiel!

Stell dir vor, wir haben ein rechtwinkliges Dreieck, und wir kennen auch einen der beiden anderen Winkel, α. Wir wissen bereits, dass die längste Seite Hypotenuse genannt wird. Die anderen beiden werden normalerweise als Ankathete (anliegend am Winkel α) und Gegenkathete (gegenüberliegend zum Winkel α) bezeichnet.

Es gibt viele verschiedene Dreiecke, die einen Winkel α und 90° haben, aber vom WWW-Satz wissen wir, dass sie alle ähnlichkongruent sind:

Da alle diese Dreiecke ähnlich sind, wissen wir, dass ihre Seiten proportional sind. Insbesondere sind die folgenden Verhältnisse für alle diese Dreiecke gleich:

GegenkatheteHypotenuseAnkatheteHypotenuseGegenkatheteAnkathete

Fassen wir zusammenzufassen: Wir haben einen bestimmten Wert für α gewählt und viele ähnliche, rechtwinklige Dreiecke erhalten. Die Seiten dieser Dreiecke stehen zueinander in jeweils gleichem Verhältnis. Da α unsere einzige Variable war, muss es irgendeine Beziehung zwischen α und diesen Verhältnissen geben.

Diese Beziehungen sind die trigonometrischen Funktionen - und es gibt drei davon:

Die drei trigonometrischen Funktionen sind Beziehungen zwischen den Winkeln und den Verhältnissen der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck. Jede hat einen Namen sowie eine dreistellige Abkürzung:

  • Sinus:
    sinα=GegenkatheteHypotenuse
  • Cosinus:
    cosα=AnkatheteHypotenuse
  • Tangens:
    tanα=GegenkatheteAnkathete

KOMMT BALD - Mehr zur Trigonometrie

Trignometrische Umkehrfunktionen (inverse Funktionen)

KOMMT BALD - Umkehrfunktion

Sinus- und Kosinussätze

Bisher funktioniert alles, was du über die Trigonometrie gelernt hast, nur in rechtwinkligen Dreiecken. Aber die meisten Dreiecke sind nicht rechtwinklig, und es gibt zwei wichtige Ergebnisse, die für alle Dreiecke funktionieren

Sinussatz
In einem Dreieck mit den Seiten a, b und c, und den Winkeln A, B und C,

sinaa=sinbb=sincc

Kosinussatz
In einem Dreieck mit den Seiten a, b und c, und den Winkeln A, B und C,

c2=a2+b22abcosC
b2=c2+a22cacosB
a2=b2+c22bccosA

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Die Große Trigonometrische Vermessung

Erinnerst du dich noch an die Suche nach dem höchsten Berg der Erde in der Einleitung? Mit der Trigonometrie haben wir endlich die Werkzeuge das zu bewerkstelligen!

Die Vermesser in Indien haben den Winkel zur Bergspitze von zwei verschiedenen Positionen aus gemessen, die im Abstand von 5 km liegen. Die Ergebnisse waren 23° und 29°.

Da der Winkel α ein Supplementärwinkel ist, wissen wir, dass er ° betragen muss. Jetzt können wir die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks verwenden, um herauszufinden, dass der Winkel β ° beträgt.

Jetzt kennen wir alle drei Winkel des Dreiecks, sowie eine der Seiten. Das genügt, um mit dem SinussatzKosinussatz den Abstand d zu finden:

sin151°d5=sin5d
d=sin151°×5sin
=23.2 km

Es gibt noch einen letzten Schritt: Wir wollen uns das große, rechtwinklige Dreieck ansehen. Wir kennen bereits die Länge der Hypotenuse, aber was wir wirklich brauchen, ist die Länge der GegenkatheteAnkathete . Wir können sie mit der Definition des sin finden:

sin23°=height2323height
Höhe=sin23°×23
=8.987 km

Und dieser Wert ist sehr nahe an der tatsächlichen Höhe des Mount Everest, dem höchsten Berg der Welt: 8.848 m.

Diese Erklärung vereinfacht die außerordentliche Arbeit der Mathematiker und Geographen, die an der Großen Trigonometrische Vermessung arbeiteten, erheblich. Sie starteten vom Meeresspiegel am Strand, maßen Tausende von Kilometern, bauten Vermessungstürme im ganzen Land und berücksichtigten sogar die Krümmung der Erde.