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Abbildungen und SymmetrieKongruenzabbildungen

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Eine Kongruenzabbildungen (längentreue Abbildungen) ist eine Abbildung die Größe und Form der ursprüngliche Figur nicht verändert. Stell dir vor, sie besteht aus einem festen Material wie Holz oder Metall: Wir können sie bewegen, drehen und wenden, aber wir können sie nicht dehnen oder irgendwie verformen.

Welche dieser Abbildungen sind längentreu?

Bei Kongruenzabbildungen ist das Bild immer kongruentgleichumgedreht im Vergleich mit dem Original. Es gibt drei verschiedene Arten von Kongruenzabbildungen:

Eine Abbildung, die eine Figur einfach bewegt wird als Verschiebung (Translation) bezeichnet.

Eine Abbildung, die eine Figur um eine Achse dreht, wird als Spiegelung bezeichnet.

Eine Abbildung, die eine Figur dreht, wird als Drehung (Rotation) bezeichnet.

Wir können auch mehrere Arten von Abbildungen kombinieren, um komplexere Abbildungen zu erreichen - zum Beispiel eine Verschiebung mit anschließender Drehung.

Aber zuerst wollen wir einen genauren Blick auf jede dieser Arten von Abbildungen werfen.

Verschiebungen (Translationen)

Eine Verschiebung ist eine Abbildung, die jeden Punkt einer Figur um den gleichen Abstand in die gleiche Richtung bewegt.

In der Koordinatenebene können wir eine Verschiebung festlegen, indem wir angeben wie weit die Figur entlang der x-Achse und der y-Achse bewegt wird. Beispielsweise bewegt eine Verschiebung um (3, 5) eine Figur um 3 entlang der x-Achse und um 5 entlang der y-Achse.

Verschoben um (, )

Verschoben um (, )

Verschoben um (, )

Jetzt bist du an der Reihe - verschiebe die folgenden Figuren wie angegeben:

Verschiebe um (3, 1)

Verschiebe um (-4, -2)

Verschiebe um (5, -1)

Spiegelungen

Eine Spiegelung ist eine Abbildung, die eine Figur entlang einer Geraden "dreht" bzw. "spiegelt". Man nennt diese Gerade Spiegelachse oder kurz Achse.

Zeichne die Spiegelachse in jedem dieser Beispiele:

Jetzt bist du an der Reihe - zeichne die Spiegelung zu jeder dieser Figuren:

Beachte, dass, wenn ein Punkt auf der Spiegelachse liegt, sein Bild gleichrechts vongegenüber dem ursprünglichen Punkt ist.

In allen oben genannten Beispielen war die Spiegelachse horizontal, vertikal oder in einem Winkel von 45° - was es einfach machte, die Spiegelbilder zu zeichnen. Ist dies nicht der Fall, erfordert die Konstruktion etwas mehr Aufwand:

Um diese Form über die Spiegelachse zu spiegeln, müssen wir jeden Eckpunkt einzeln spiegeln und dann alle wieder verbinden.

Wählen wir einen der Eckpunkte aus und zeichnen wir die Gerade durch diesen Eckpunkt, die senkrecht zur Spiegelachse steht.

Jetzt können wir den Abstand vom Eckpunkt bis zur Spiegelachse messen und den Punkt markieren, der den gleichen Abstand auf der anderen Seite hat. (Wir können dazu entweder ein Lineal oder einen Zirkel verwenden.)

Wir können das für alle anderen Eckpunkte unserer Figur wiederholen.

Jetzt müssen wir nur noch die gespiegelten Eckpunkte in der richtigen Reihenfolge verbinden, und wir haben das Spiegelbild gefunden!

Drehungen (Rotationen)

Eine Drehung ist eine Abbildung, die eine Figur um einen bestimmten Winkel um einen Festpunkt "rotieren" lässt. Dieser Punkt wird als Drehzentrum bezeichnet. Drehungen können im oder gegen den Uhrzeigersinn erfolgen.

Versuche, die untenstehenden Figuren um das rote Drehzentrum zu drehen:

Um 90° im Uhrzeigersinn drehen.

Um 180° drehen.

Um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen.

Es ist schwieriger, Drehungen zu zeichnen, die nicht genau 90° oder 180° betragen. Versuchen wir, diese Figur um ${10*ang}° um das Drehzentrum zu drehen.

Wie bei den Spiegelungen müssen wir jeden Punkt einer Figur einzeln drehen.

Wir beginnen damit, einen der Eckpunkte auszuwählen und eine Linie zum Drehpunkt zu zeichnen.

Mit einem Winkelmesser können wir einen Winkel von ${ang*10}° um das Drehzentrum messen. Zeichnen wir eine zweite Linie in diesem Winkel dazu.

Mit einem Zirkel oder Lineal können wir auf dieser Linie einen Punkt markieren, der den gleichen Abstand vom Drehzentrum hat wie der ursprüngliche Punkt.

Nun müssen wir diese Schritte für alle anderen Eckpunkte unserer Figur wiederholen.

Und schließlich können wir, wie bisher, die einzelnen Eckpunkte verbinden, um das gedrehte Bild unserer ursprünglichen Figur zu erhalten.

Abbildungen sind in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Grundlage, nicht nur in der Geometrie. Beispielsweise kann man Funktionen transformieren ("abbilden"), indem man ihre Graphen verschiebt oder dreht. Andere Abbildungen (Transformationen) haben nicht einmal eine visuelle Darstellung.