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Teilbarkeit und PrimzahlenGrößter gemeinsamer Teiler

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Eine Architektin plant den Boden für einen großen Innenhof, der 18m x 30m misst. Sie möchte, dass er mit den größtmöglichen quadratischen Fliesen bedeckt ist, ohne Lücken oder Überlappungen an den Seiten. Welche Abmessungen haben diese Quadrate?

Die Fliesen haben eine Größe von ${x}m.

Wie zuvor geht es bei dieser Frage nicht um Geometrie, sondern um die Teilbarkeit. Die Länge der Seiten der Fliesen muss sowohl 18 als auch 30 teilen, und die größtmögliche Zahl die das erfüllt ist . Man spricht vom größten gemeinsamen Teiler oder ggT von 18 und 30.

Auch hier können wir mit der Primfaktorzerlegung den ggT von zwei beliebigen Zahlen berechnen. Bedenke, dass jeder Teiler einer Zahl einige der Primfaktoren dieser Zahl beinhalten muss.

18
=
2
×
3
×
3
30
=
2
×
3
×
5

Angenommen, X ist der ggT von 18 und 30, dann lässt sich 18 durch X teilen, weshalb die Primfaktoren von X auch 2, 3 und 3 beinhalten müssen. Außerdem lässt sich 30 auch durch X teilen, weshalb die Primfaktoren von X ebenso 2, 3 und 5 beinhalten müssen.

Um X zu finden, müssen wir einfach alle Zahlen multiplizieren, die Primfaktoren von 18 undoder 30 sind:

X  =  2 × 3  =  6.

Jetzt haben wir eine einfache Methode, um den ggT von zwei Zahlen zu bestimmen:

  1. Mache die Primfaktorzerlegung für jede Zahl.
  2. Multipliziere die gemeinsamen Primfaktoren beider Zahlen.

Auch hier gilt für Primzahlen etwas Besonderes: Der ggT von zwei verschiedenen Primzahlen ist immer , da sie keine Primfaktoren miteinander teilen.