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Dreiecke und TrigonometrieTrigonometrie

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Bisher haben wir Beziehungen zwischen den Winkeln von Dreiecken (z.B. summieren sie sich immer auf 180°) und Beziehungen zwischen den Seiten von Dreiecken (z.B. Pythagoras) betrachtet. Aber wir haben nichts, was die Größe von Winkeln und Seiten miteinander verbindet.

Wenn ich zum Beispiel die drei Seiten eines Dreiecks kenne, wie finde ich die Größe seiner Winkel - ohne das Dreieck zu zeichnen und mit einem Winkelmesser zu messen - hier kommt die Trigonometrie ins Spiel!

Stell dir vor, wir haben ein rechtwinkliges Dreieck, und wir kennen auch einen der beiden anderen Winkel, α. Wir wissen bereits, dass die längste Seite Hypotenuse genannt wird. Die anderen beiden werden normalerweise als Ankathete (anliegend am Winkel α) und Gegenkathete (gegenüberliegend zum Winkel α) bezeichnet.

Es gibt viele verschiedene Dreiecke, die einen Winkel α und 90° haben, aber vom WWW-Satz wissen wir, dass sie alle ähnlichkongruent sind:

Da alle diese Dreiecke ähnlich sind, wissen wir, dass ihre Seiten proportional sind. Insbesondere sind die folgenden Verhältnisse für alle diese Dreiecke gleich:

GegenkatheteHypotenuseAnkatheteHypotenuseGegenkatheteAnkathete

Fassen wir zusammenzufassen: Wir haben einen bestimmten Wert für α gewählt und viele ähnliche, rechtwinklige Dreiecke erhalten. Die Seiten dieser Dreiecke stehen zueinander in jeweils gleichem Verhältnis. Da α unsere einzige Variable war, muss es irgendeine Beziehung zwischen α und diesen Verhältnissen geben.

Diese Beziehungen sind die trigonometrischen Funktionen - und es gibt drei davon:

Die drei trigonometrischen Funktionen sind Beziehungen zwischen den Winkeln und den Verhältnissen der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck. Jede hat einen Namen sowie eine dreistellige Abkürzung:

  • Sinus:
    sinα=GegenkatheteHypotenuse
  • Cosinus:
    cosα=AnkatheteHypotenuse
  • Tangens:
    tanα=GegenkatheteAnkathete

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