Sözlük

Select one of the keywords on the left…

Üçgenler ve TrigonometriPisagor Teoremi

Reading time: ~25 min
Reveal all steps

Geometride önemli bir noktaya ulaştık – matematikteki en ünlü teoremlerden birini ifade edebilir ve anlayabiliriz: Pisagor Teoremi. Adını antik Yunan matematikçisi Sisamlı Pisagor’dan alır.

Pisagor Teoremi
Dik açılı bir üçgende, hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) uzunluğunun karesi diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamına eşittir. Diğer bir deyişle,

a2 + b2 = c2

Tersi de doğrudur: eğer bir üçgendeki kenarlar a2 + b2 = c2 eşitliğini sağlarsa, bu üçgen dik açılıdırdar açılıdırgeniş açılıdır.

Dik açılar her yerdedir, ve bu nedenle Pisagor Teoremi çok kullanışlıdır.

Burada 6m uzunluğunda duvara yaslanmış bir merdiven görüyorsunuz. Merdivenin alt kısmı duvardan 1m uzaklıkta bulunuyor. Duvara ne kadar ulaşır?

Merdiven, duvar ve yerin bir dik üçgen oluşturduğunu fark edelim. Pisagor Teoremi’ni kullanarak şunu elde ederiz:

h2+12 =62
h2 =
h =35=5.92m

Elinizdeki dik üçgenin iki kenarını bildiğinizde, Pisagor Teoremi üçüncü kenarı bulmanıza yardımcı olur.

Pisagor Teoremi’nin Kanıtı

Pisagor Teoremi, Babilliler, Mezopotamyalılar, Hintliler ve Çinliler tarafından biliniyordu – ancak Pisagor düzgün, matematiksel kanıtı yapan ilk kişidir.

Aslında Pisagor Teoremi’ni kanıtlamanın birçok farklı yolu vardır. Burada her birinin farklı strateji kullandığı üç farklı örneği görebilirsiniz:

Yeniden Düzenleme

Sağdaki şekle bakın. Şekildeki karenin bir kenarı a + b uzunluğundadır, dört dik üçgen ve aynı zamanda alanı c2aba + b olan daha küçük bir kare içerir.

Şimdi karedeki üçgenleri yeniden düzenleyelim. Sonuç yine dik açılı dört üçgen ve aynı zamanda alanları a2 ve b2c2a+b2 olan iki kare içerir.

Kırmızı bölgenin alanını, yerdeğiştirmeden önce ve sonra olarak karşılaştırdığımızda şunu görürüz:

a2+b2=c2.

Bu Pisagor’un bulduğu orijinal kanıttır.

Cebir

Öncekiyle aynı şekli yanda görüyoruz, ama bu kez Pisagor Teoremi’ni yeniden düzenleme yerine cebir kullanarak kanıtlayacağız.

Büyük karenin bir kenarı a+b uzunluğunda ve alanı (a + b)2a2 + b2c2.

Her birinin alanı 12ab(a × b)212(a + b) olan dört üçgen ve bir de alanı c2(a + b)2a × b olan bir kare içeriyor.

Eğer tüm bu bilgileri kullanacak olursak, şuna ulaşırız

a+b2 =4×12ab+c2
a2+2ab+b2 =2ab+c2
a2+b2 =c2

Ve bir kez daha Pisagor Teoremi’ni kanıtladık.

Benzer Üçgenler

Burada başka bir dik üçgen görüyorsunuz. Eğer birinin yüksekliğini çizersek, iki farklı daha küçük dik üçgene ayrılır. Bu aynı zamanda hipotenüsü c de, x ve y olarak adlandıracağımız iki küçük parçaya böler. Devam

Şimdi aralarındaki ilişkiyi daha açık görmek için bu iki üçgeni ayıralım… Devam

Küçük üçgenlerin ikisi de orijinal üçgenle ortak bir açıyı paylaşırlar. Ayrıca hepsi bir dik açıya sahiptir. AA şartından, üç üçgenin de benzerdik açılı olması gerektiğine ulaşıyoruz.

Şimdi zaten benzer çokgenler hakkında bildiğimiz denklemleri kullanabiliriz:

xa=ac

x=a2c

yb=bc

y=b2c

Devam

Ancak c = x + y olduğunu hatırlayın. Böylece

c=a2c+b2c

c2=a2+b2

Bir kez daha Pisagor Teoremi’ni kanıtladık!

Pisagor’un hayatıyla ilgili çok az şey bilinir ve çalışmalarının orijinal hali günümüze kadar ulaşmamıştır. Pisagor, “Sayı ibadeti” denilebilecek bir çeşit dini bir kült , Pisagorcular, kurmuştur. Her sayının kendine ait bir karakteri olduğuna inandılar ve bir çok tuhaf geleneği devam ettirdiler.

Pisagorcular, ilk kez bir irrasyonel sayı , 2 , bulmak da dahil bir çok matematiksel keşifle tanınırlar. İrrasyonel sayılar basit bir kesir olarak ifade edilemezler – Pisagorcuları derinden sarsan ve (başarısız bir şekilde) örtbas etmeye çalıştıkları bir kavram!

“Pisagorcular güneşin doğuşunu kutluyor” Fyodor Bronnikov

Uzaklıkları Hesaplama

Pisagor Teoremi’nin en önemli uygulamalarından biri uzaklıkları hesaplamadır.

Sağda, koordinat düzlemi üzerinde iki nokta görüyorsunuz. Aralarındaki mesafeyi bir cetvel yardımıyla da ölçebilirdik, ama bu tam olarak doğru değil. Bunun yerine, Pisagor Teoremi’ni kullanmayı deneyelim. Devam

Kolayca x-ekseni boyunca uzanan yatay mesafeyi ve y-ekseninde uzanan dik mesafeyi hesaplayabiliriz. Bu iki doğruyu çizersek, dik açılı bir üçgen elde ederiz.

Pisagor’u kullanarak,

d2 =${b.x-a.x}2+${a.y-b.y}2
d2 =${(b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y)}
d =${(b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y)}=${round(Math.sqrt((b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y)),4)}

Bu yöntem herhangi iki nokta için işe yarar:

Uzaklık Formülü
Eğer (x1,y1) ve (x2,y2) şeklinde iki nokta verilirse,aralarındaki uzaklık şöyle hesaplanır:

d2=x2x12+y2y12

d=x2x12+y2y12

Pisagor Üçlüsü

Önceki adımda üçgenin köşelerini hareket ettirdiğiniz için, birçok durumda, hipotenüsün d uzunluğunun her seferinde bir ondalıklı sayıkesirtam sayı olduğunu farketmişsinizdir. Buna rağmen üç kenarının hepsinin de birer tam sayı olduğu dik üçgen örnekleri vardır.

En ünlü örnek 3-4-5 üçgenidir. Çünkü 32+42=52 olduğundan, kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 olan her üçgen dik üçgendir.

Eski Mısırlılar Pisagor Teoremi’ni bilmiyordu, fakat 3-4-5 üçgeni hakkında bilgileri vardı. Piramitleri inşa ederken, dik açıyı en iyi şekilde ölçebilmek için uzunlukları 3,4 ve 5 olan düğümlü ipler kullandılar.

Bu şekildeki üç tam sayı Pisagor Üçlüsü şeklinde adlandırılır. (3, 4, 5), Pisagor Üçlüsüne bir örnektir. Eğer her sayıyı 2 ile çarparsak, başka bir Pisagor Üçlüsü elde ederiz: (6, 8, ).

Bu üçlüleri, koordinat sisteminde karelaj noktaları olarak düşünebiliriz. Geçerli bir Pisagor Üçlüsü için, karelaj noktasından orijine uzaklık bir tam sayı olmalıdır. Aşağıdaki koordinat sistemini kullanarak, Pisagor Üçlülerini bulabilir misiniz?

${a.x}
${17-a.y}
${sqrtDistance(a)}

Bu noktaların dağılmasında herhangi bir yöntem farkettiniz mi?