Glossary

Select one of the keywords on the left…

Sekvenser och mönsterPascal's Triangle

Lästid: ~25 min

Nedan kan du se en talpyramid som skapas med ett enkelt mönster: den börjar med en enda ”1” upptill, och varje följande cell är summan av de två cellerna direkt ovanför. Håll muspekaren över några av cellerna för att se hur de beräknas och fyll sedan i de saknade:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
495
792
924
792
495
66
12
1

Detta diagram visade bara de första tolv raderna, men vi kunde fortsätta för evigt och lägga till nya rader längst ner. Lägg märke till att triangeln är , vilket kan hjälpa dig att beräkna några av cellerna.

Triangeln heter Pascal triangel, uppkallad efter den franska matematikern Blaise Pascal. Han var en av de första europeiska matematikerna som undersökte dess mönster och egenskaper, men den var känd för andra civilisationer många århundraden tidigare:

Under 450 f.Kr. kallade den indiska matematikern Pingala triangeln 'trappuppgången på berget Meru', uppkallad efter ett heligt hinduberg.

I Iran var den känd som 'Khayyam-triangeln' (مثلث خیام), uppkallad efter den persiska poeten och matematikern Omar Khayyám.

I Kina upptäckte matematikern Jia Xian också triangeln. Den fick sitt namn efter hans efterträdare, "Yang Huis triangel" (杨辉 三角).

Pascal triangel kan skapas med ett mycket enkelt mönster, men den är fylld med överraskande mönster och egenskaper. Det är därför det har fascinerat matematiker över hela världen i hundratals år.

Hitta sekvenser

I de föregående avsnitten såg du otaliga olika matematiska sekvenser. Det visar sig att många av dem också finns i Pascals triangel:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1

Siffrorna i den första diagonalen på vardera sidan är alla .

Siffrorna i den andra diagonalen på vardera sidan är .

Siffrorna i den tredje diagonalen på vardera sidan är .

Siffrorna i den fjärde diagonalen är de .

Om du lägger till alla siffror i rad bildar deras summor en annan sekvens: .

I varje rad som har ett primtal i sin andra cell är alla följande siffror av det primet.

Diagrammet ovan belyser de "grunda" diagonalerna i olika färger. Om vi ​​lägger till siffrorna i varje diagonal får vi .

Naturligtvis har vart och ett av dessa mönster ett matematiskt skäl som förklarar varför det visas. Kanske kan du hitta några av dem!

En annan fråga du kan ställa är hur ofta ett nummer visas i Pascals triangel. Det finns uppenbarligen oändligt många 1, en 2, och alla andra nummer visas , i den andra diagonalen på båda sidor.

Vissa siffror i mitten av triangeln visas också tre eller fyra gånger. Det finns till och med några som visas sex gånger: du kan se både 120 och 3003 fyra gånger i triangeln ovan, och de kommer att visas ytterligare två gånger vardera i raderna 120 och 3003 .

Eftersom 3003 är ett triangelnummer visas det faktiskt ytterligare två gånger i triangeln tredje i triangeln - vilket gör åtta händelser totalt.

Det är okänt om det finns några andra nummer som visas åtta gånger i triangeln, eller om det finns nummer som visas mer än åtta gånger. Den amerikanska matematikern David Singmaster antog att det finns en fast limed på hur ofta siffror kan uppträda i Pascals triangel - men det har ännu inte bevisats.

Delbarhet

Vissa mönster i Pascal triangel är inte lika lätt att upptäcka. I diagrammet nedan markerar du alla celler som är jämna:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1

Det ser ut som att jämnt tal i Pascals triangel bildar en annan, mindre .

Att färga varje cell manuellt tar lång tid, men här kan du se vad som händer om du skulle göra detta i många fler rader. Och vad med celler som kan delas med andra nummer?

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1
1
19
171
969
3876
11628
27132
50388
75582
92378
92378
75582
50388
27132
11628
3876
969
171
19
1
1
20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
167960
125970
77520
38760
15504
4845
1140
190
20
1
1
21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
352716
293930
203490
116280
54264
20349
5985
1330
210
21
1
1
22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
646646
497420
319770
170544
74613
26334
7315
1540
231
22
1
1
23
253
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
1771
253
23
1
1
24
276
2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
2496144
1961256
1307504
735471
346104
134596
42504
10626
2024
276
24
1

Wow! De färgade cellerna visas alltid i (utom några få enskilda celler, som kan ses som trianglar i storlek 1).

Om vi fortsätter med mönstret av celler som kan delas med 2, får vi ett som är mycket likt Sierpinski triangeln till höger. Formar som denna, som består av ett enkelt mönster som verkar fortsätta för alltid medan det blir mindre och mindre, kallas Fraktaler. Du kommer att lära dig mer om dem i framtiden ...

Sierpinski Triangle

The Sierpinski Triangle

Binomialkoefficienter

Det finns en viktigare egenskap i Pascal triangel som vi behöver prata om. För att förstå det kommer vi att försöka lösa samma problem med två helt olika metoder och sedan se hur de är relaterade.

KOMMER GODT