OlasılıkGiriş

Olasılıklar ve yatkınlıklar, hava durumu tahmininden oyunlara, sigortadan seçimlere, her yerde karşımıza çıkar. Fakat matematik tarihinde olasılık oldukça yeni bir fikir. Geometri ve cebir antik Yunan matematikçiler tarafından 2500 yıl öncesinden beri çalışılmasına karşılık, olasılık konsepti yalnızca 17. ve 18. Yüzyılda ortaya çıkmıştır.

Bir hikayeye göre, zamanın iki büyük matematikçisi, Blaise Pascal ve Pierre de Fermat Paris’teki küçük bir kafede düzenli olarak buluşurlar.

Tartıştıkları zor matematik teorilerinden biraz uzaklaşmak için basit bir oyun oynarlarmış: Ardarda yazı tura atarlarmış - her yazı Pascal için bir puan, her tura da Fermat için bir puan. Üç yazı-tura atışından sonra daha az puanı olan hesabı ödermiş.

Bir gün ilk para atışından sonra Fermat’nın acilen gitmesi gerekmiş. Bu durumda hangisinin hesabı ödemesi gerektiğini ya da hesabı adil bölüşmenin bir yolu olup olmadığını düşünmüşler. Para yazı gelmişmiş (Pascal için bir puan), o zaman belki de Fermat hesabın hepsini ödemeli diyebiliriz. Ancak küçük bir ihtimalle de olsa, eğer sıradaki iki atıştasıradaki atışta tura gelirse Fermat’nın hala kazanma şansı da varmış.

Pascal ve Fermat oyunun devam edebileceği bütün durumları yazmaya karar vermişler:

Pascal kazanır

Pascal kazanır

Pascal kazanır

Fermat kazanır

Dört olası durumun da ortaya çıkma ihtimali eşittir, ve Pascal bunlardan üçdörtiki tanesinde kazanır. Dolayısıyla Fermat hesabın 3/4ünü ve Pascal 1/4ünü ödemelidir.

Pascal ve Fermat olasılığın ilk önemli eşitliğini keşfetmişlerdir: Eğer bir deneyin eşit ihtimalli pek çok sonucu varsa, o zaman

Bir olayın olasılığı = Olayın oluşabilme sayısıOlası tüm sonuçların sayısı.

Bizim örneğimizde, Pascal’ın oyunu kazanma olasılığı 34=0,75 ve Fermat’nın kazanma olasılığı 14=0,25.

Olasılıklar Nelerdir

Olasılık belirli bir olayın gerçekleşme ihtimalini tanımlayan 0 ile 1 arasında bir sayıdır. 0 olasılığı, bir şeyin imkansız olduğu anlamına gelir; 1 olasılığı, bir şeyin kesin olduğu anlamına gelir.

Örneğin, gerçek hayatta bir ejderha ile karşılaşmanız imkansızdırkesindir ve güneşin yarın doğacağı kesindirimkansızdır. Madeni bir paranın tura gelme olasılığı tam olarak ortadadıraynıdır.

Atılan bir zarın 6 gelme olasılığı veya bir kart destesinden belirli bir simgenin çekilme olasılığı 0.5’ten daha azdırfazladır –ki bu da muhtemel olmadığı anlamına gelir. İyi bir futbol takımının bir maçı kazanma veya bir trenin vaktinde varması olasılığı 0.5’ten daha fazladırazdır –ki bu da muhtemel olduğu anlamına gelir.

İşte bazı olaylar: gerçekleşme ihtimali yüksek olandan az olana doğru sıralayın:

Bir zar atıyorsunuz ve 6 geliyor.

Penguenler Kuzey Kutbu’nda yaşar.

Kasım ayında yağmur yağacak.

Bugün Çin’de bir bebek doğacak.

Bir piyango bileti alıyorsun ve büyük ikramiyeyi kazanıyorsun .

Yeni doğmuş bir bebek kız olacak.

Olasılıkları genelde üzerinde çok düşünmeden günlük hayatta sıklıkla kullanıyoruz. Yarının yağmurlu olma olasılığı nedir? Otobüsü kaçırmam ne kadar muhtemeldir? Bu oyunu kazanma olasılığım nedir?

(Hilesiz) Madeni bir para atmanın iki muhtemel sonucu vardır; eşit olasılığa sahip olan tura ve yazı. Yukarıdaki denkleme göre, atılan bir madeni paranın tura gelme olasılığı 12 = 0,5 veya %50 olmalıdır.

Sadece sonuçlardan biri gerçekleşebilir olsa bile bu olasılığın 0 ile 1 arasında olduğunu not edelim. Fakat olasılıkların gerçek sonuçlarla çok az ilgisi vardır: eğer madeni bir parayı çok kez atarsak sonuçların yaklaşık olarak yarısınıntam olarak yarısınınhepsininhiçbirinin tura olacağını biliyoruz – ama tam olarak hangi atışların tura geleceğini tahmin etmemizin hiçbir yolu yok.

Çok az olasılıklı olaylar bile (örneğin piyangoyu kazanma ) yine de gerçekleşebilir – ve gerçekten de her zaman gerçekleşir (fakat katılan insanların çok küçük bir bölümü için).

Olasılıklar aynı zamanda her birimizin olayın ne kadarını bildiğine de bağlıdır. Örneğin, detaylı hava durumu verilerine sahip bir meteoroloj uzmanı, bugün yağmur yağma olasılığının %64.2 olduğunu söylerken, siz bu olasılığı %70 olarak tahmin edebilirsiniz.

Veya bir madeni para attığımı ve üstünü ellerimle kapattığımı varsayalım – yazı gelme olasılığı %50’dir. Şimdi sonuca bakıyorum ama size söylemiyorum. Ne olduğunu kesin olarak biliyorum ama sizin için olasılık hala %50%100%50 değil.

Olasılıkları düşünmenin çok farklı yolları vardır ancak pratikte sıklıkla aynı sonucu verirler:

Tura atmanın klasik olasılığı tura gelen olası sonuçların oranıdır.

Sıklık olasılığı madeni parayı çok kez atarsak elde ettiğimiz tura sonuçlarının oranıdır.

Öznel olasılık bize paranın tura geleceğine ne kadar inandığımızı söyler.

Olasılıklar tahmin etmek ve öngörmek için harika iken, aslında ne olacağını hiçbir zaman söyleyemediğimizi hatırlayın.

Şimdi olasılığın bazı eğlenceli uygulamalarına bir göz atalım.

Geleceği Öngörmek

Aynı anda iki zar atıp gelen sayıları toplarsak ile arasında bir sayı elde ederiz. Ancak bu aralıktaki her sayıyı elde etme ihtimalimiz eşit değildir. Bazı sonuçları tek bir şekilde elde edebiliriz(12 elde etmek için + atmamız gerek), bazılarını ise bir çok şekilde elde edebiliriz (5 elde etmek için + ya da + atabiliriz).

Bu çizelge olası bütün sonuçları gösteriyor:

İki zar attığımızda en çok gelebilen sonuç 7. Toplamın 7 ettiği tane durum var, ve toplamda durum var, dolayısıyla toplamın 7 gelme ihtimali 636=0,1666.

En az bekleyebileceğimiz sonuçlar ise 2 ve 12, Her birinin gelme ihtimali 136=0,277.

Tek bir yazı tura ya da zar atımının sonucunu önceden söylemek imkansızdır. Ancak olasılık teorisini kullanarak pek çok zar atımının sonucunu çok isabetli bir şekilde öngörebiliriz.

Eğer 30 defa zar atarsak, yaklaşık 16×30=5 defa altı geleceğini biliyoruz. Eğer 300 defa atarsak, yaklaşık 16×300=50 defa altı gelir. Bu öngörüler deneyi tekrarladıkça daha isabetli hale gelirler.

Bu animasyonda aynı anda bir çok defa “sanal” zar atabilir ve gelen sonuçları öngördüğümüz olasılıklarla karşılaştırabilirsiniz:

Dikkat ederseniz, gittikçe daha fazla zar atarsak, gözlemlediğimiz frekanslar, olasılık teorisi kullanarak öngördüğümüz frekanslara gittikçe yaklaşıyor. Bu prensibi bütün olasılık deneylerine uygulanabilir, buna Büyük Sayılar Yasası diyoruz.

Benzer şekilde, aynı anda attığımız zar sayısını arttırırsak, olasılıkların biz çizgiden (tek zar) bir üçgene (iki zar) ve sonra “çan eğrisine” dönüştüğünü görebiliriz. Bu sonuç Merkezi Limit Teoremi olarak geçer, ve çan şeklindeki bu eğriye Normal Dağılım denir.