Glossar

Select one of the keywords on the left…

Vielecke und PolyederPlatonische Körper

Reading time: ~35 min
Reveal all steps

Zu Beginn dieses Kurses haben wir regelmäßige Vielecke als besonders "symmetrische" Vielecke definiert, bei denen alle Seiten und Winkel gleich sind. Wir können etwas Ähnliches für Polyeder tun.

In einem regelmäßigen Polyeder sind alle Flächen regelmäßige Vielecke von derselben Art und an jeder Ecke trifft die gleiche Anzahl von Flächen aufeinander. Polyeder mit diesen beiden Eigenschaften werden als platonische Körper bezeichnet, benannt nach dem griechischen Philosophen Platon.

Wie sehen also die platonischen Körper aus - und wie viele von ihnen gibt es? Um eine dreidimensionale Form zu erhalten, benötigen wir mindestens Flächen, die sich an jeder Ecke treffen. Beginnen wir systematisch mit dem kleinsten regelmäßigen Vieleck: gleichseitige Dreiecke:

Wenn wir ein Polyeder zusammensetzen, so dass an jeder Ecke drei gleichseitige Dreiecke zusammentreffen, erhalten wir den Körper auf der linken Seite. Er wird als Tetraeder bezeichnet und hat Flächen. ("Tetra" bedeutet auf Griechisch "vier").

Wenn sich an jeder Ecke vier gleichseitige Dreiecke treffen, erhalten wir einen anderen platonischen Körper. Er wird Oktaeder genannt und hat Flächen. ("Octa" bedeutet auf Griechisch "acht". So wie "Oktogon" eine 8-seitige Figur meint, meint "Oktaeder" einen 8-seitigen Körper.)

Wenn sich an jeder Ecke Dreiecke treffen, erhalten wir ein Ikosaeder. Es hat Flächen. ("Icosa" bedeutet auf Griechisch "zwanzig".)

Wenn Dreiecke an jeder Ecke zusammentreffen, geschieht etwas anderes: Wir erhalten nur eine Parkettierungein Viereckeinen anderen Ikosaeder, anstelle eines dreidimensionalen Polyeders.

Und sieben oder mehr Dreiecke an jeder Ecke produzieren auch keine neuen Polyeder: Es gibt für so viele Dreiecke nicht genug Platz um eine Ecke herum.

Das bedeutet, dass wir platonische Körper gefunden haben, die aus Dreiecken bestehen. Kommen wir zum nächsten regelmäßigen Vieleck: Quadrate.

Wenn Quadrate an jeder Ecke zusammentreffen, erhalten wir einen Würfel. Genau wie ein Spielwürfel hat er Flächen. Der Würfel wird manchmal auch Hexaeder genannt, nach dem griechischen Wort "hexa" für "sechs".

Wenn sich an jeder Ecke Quadrate treffen, erhalten wir eine ander Parkettierungein Tetraedereinen weiteren Würfel. Und wie zuvor funktioniert es auch hier mit fünf oder mehr Quadrate nicht.

Als nächstes versuchen wir es mit regelmäßigen Fünfecken (Pentagon):

Wenn Fünfecke an jeder Ecke zusammentreffen, erhalten wir ein Dodekaeder. Es hat Flächen. ("Dodeca" bedeutet auf Griechisch "zwölf".)

Wie zuvor sind vier oder mehr Fünfecke nicht möglichmöglich, weil nicht genügend Platz vorhanden ist.

Das nächste regelmäßige Vieleck, das wir untersuchen wollen ist das Sechseck (Hexagon):

Wenn an jeder Ecke drei Sechsecke zusammentreffen, erhalten wir sofort eine Parkettierungein Polyederein Hexaeder. Da es keinen Platz für mehr als drei gibt, scheint es keine platonischen Körper aus Sechsecken zu geben.

Dasselbe gilt auch für alle regelmäßigen Vielecke mit mehr als sechs Seiten. Sie lassen sich nicht zu einer Parkettierung zusammenfügen und man erhält schon gar keine dreidimensionalen Vielecke.

Das bedeutet, dass es nur platonische Körper gibt! Schauen wir uns alle auf einmal an:

Tetraeder

Flächen
Ecken
Kanten

Würfel

Flächen
Ecken
Kanten

Oktaeder

Flächen
Ecken
Kanten

Dodekaeder

Flächen
20 Ecken
30 Kanten

Ikosaeder

Flächen
12 Ecken
30 Kanten

Beachte, dass die Anzahl der Flächen und Ecken bei Würfeln und Oktaedern sowie bei Dodekaedern und Ikosaedern vertauscht wirdgleich ist, während die Anzahl der Kanten bei beiden gleich bleibtunterschiedlich ist. Diese Paare platonischer Körper werden als duale Körper bezeichnet.

Wir können ein Polyeder in sein Dual verwandeln, indem wir jede Fläche durch eine Ecke und jede Ecke durch eine Fläche "ersetzen". Diese Animationen zeigen, wie das abläuft:

Das Tetraeder ist dual mit sich selbst. Da es die gleiche Anzahl von Flächen und Eckpunkten hat, würde das Austauschen nichts ändern.

Platon glaubte, dass die ganze Materie im Universum aus vier Elementen besteht: Luft, Erde, Wasser und Feuer. Er dachte, dass jedes Element einem der platonischen Körper entspricht, während das fünfte das Universum als Ganzes darstellen würde. Heute wissen wir, dass es mehr als 100 verschiedene Elemente gibt, die aus kugeligen Atomen und nicht aus Polyedern bestehen.

Bilder aus Johannes Keplers Buch "Harmonices Mundi" (1619)

Archimedische Körper

Platonische Körper sind besonders wichtige Polyeder, aber es gibt unzählige andere.

Archimedische Körper zum Beispiel müssen auch aus regelmäßigen Vielecken bestehen, aber man kann dabei mehrere unterschiedliche Arten verwenden. Sie sind nach einem anderen griechischen Mathematiker, Archimedes von Syrakus, benannt, und es gibt 13 von ihnen:

Tetraederstumpf
8 Flächen, 12 Ecken, 18 Kanten

Kuboktaeder
14 Flächen, 12 Ecken, 24 Kanten

Hexaederstumpf
14 Flächen, 24 Ecken, 36 Kanten

Oktaederstumpf
14 Flächen, 24 Ecken, 36 Kanten

Rhombenkuboktaeder
26 Flächen, 24 Ecken, 48 Kanten

Kuboktaederstumpf
26 Flächen, 48 Ecken, 72 Kanten

Abgeschrägtes Hexaeder
38 Flächen, 24 Ecken, 60 Kanten

Ikosidodekaeder
32 Flächen, 30 Ecken, 60 Kanten

Dodekaederstumpf
32 Flächen, 60 Ecken, 90 Kanten

Ikosaederstumpf
32 Flächen, 60 Ecken, 90 Kanten

Rhombenikosidodekaeder
62 Flächen, 60 Ecken, 120 Kanten

Ikosidodekaederstumpf
62 Flächen, 120 Ecken, 180 Kanten

abgeschrägtes Dodekaeder
92 Flächen, 60 Eckpunkte, 150 Kanten

Anwendungen

Platon hatte Unrecht, als er glaubte, dass alle Elemente aus platonischen Körpern bestehen. Aber regelmäßige Polyeder haben viele besondere Eigenschaften, die an anderer Stelle in der Natur zum Vorschein kommen - und wir können diese Eigenschaften in Wissenschaft und Technik kopieren.

Skelett eines Strahlentierchens

Ikosaedrisches Virus

Viele Viren, Bakterien und andere kleine Organismen haben die Form von Ikosaedern. So müssen beispielsweise Viren ihr Erbgut in eine Hülle aus vielen identischen Proteineinheiten einschließen. Das Ikosaeder ist der effizienteste Weg, da es aus wenigen regelmäßigen Elementen besteht, aber fast wie eine Kugel geformt ist.

Fulleren-Moleküle

Biosphère Montreal

Viele Moleküle sind wie regelmäßige Polyeder geformt. Das bekannteste Beispiel ist C60, das aus 60 Kohlenstoffatomen besteht, die in Form eines Ikosaederstumpfs angeordnet sind.

Es wurde 1985 entdeckt, als Wissenschaftler interstellaren Staub erforschten. Sie nannten es "Buckyball" (oder Buckminsterfullerene) nach dem Architekten Buckminster Fuller, der für den Bau ähnlich aussehender Gebäude bekannt ist.

Fluorit-Oktaeder

Pyritwürfel

Die meisten Kristalle haben ihre Atome in einem regelmäßigen Gitter angeordnet, das aus Tetraedern, Würfeln oder Oktaedern besteht. Wenn sie abbrechen oder zerspringen, kannst du diese Formen in größerem Maßstab sehen.

Achteckige Gitterrahmen

Louvre-Museum in Paris

Tetraeder und Oktaeder sind unglaublich steif und stabil, weshalb sie sehr oft für Konstruktionen verwendet werden. Gitterrahmen sind vieleckige Konstruktionen, die große Dächer und schwere Brücken tragen können.

Fußball

Mehrseitige Würfel

Platonische Körper werden auch verwendet, um Würfel zu machen. Aufgrund ihrer Symmetrie hat jede Seite die gleiche Wahrscheinlichkeit, mit dem Gesicht nach oben zu landen - also sind Würfel immer fair.

Der Ikosaederstumpf ist wahrscheinlich der berühmteste Polyeder der Welt: Er hat die Form eines Fußballs.