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序列和模式特殊序列

揭示所有步驟

除了算术序列几何序列斐波那契数形数之外, 还有无数有趣的序列没有遵循类似的规则和模式。

素数

你之前已经看过的一个例子是素数。我们说,如果一个数是 除了1和它本身除了1和2没有倍数之外没有其它因子, 那么它是素数。

下面是前几个素数:

2, 3, 5, 7, 11, , , , …

不幸的是,素数不遵循简单的模式或递归公式。有时它们直接出现在彼此挨着的位置(这 些称为孪生素数),有时它们之间有巨大的间隔。它们几乎是随 机分布的!

素数也没有像三角形数平方数 这样简单的几何表现,但是通过一些工作,我们可以发现有趣的模式:

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如果我们把小整数的倍数全都删除, 那么剩下的数必都是素数。这种方法 被称为埃拉托色尼筛选法

如果我们画一个这样的图表:每出现一个素数就增加1,我们将得到了一个 具有迷人性质的“阶梯”函数。

在我们的整除和素数课程中,你可以学到更多的 关于素数的这些和其他性质的知识。它们是数学中最重要和最神秘的概念之一!

完美数

要确定一个数字是否是素数,我们必须找到它所有的因子。 通常我们再将这些因子相乘以得到原来的数字,但是让我们看看如果我们把一个数字的 所有因子加起来会发生什么:

因子因子的和
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让我们将这些数字与它们的因子之和进行比较:

对于大多数数字,其因子之和是小于大于等于自身。这些数字被称为亏数

对于一些数字,其因子之和大于其本身。这些数字被称为盈数

上面列表中只有一个数的因子之和等于其自身:。这被称为一个完美数字

下一个完美数是28,因为如果我们把它的所有因子加起来,我们得到1+2+4+7+14=28。 在那之后,完美数字变得更加罕见:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …

注意,所有这些数都是偶数3的倍数比平方数大2的数 结果显示它们也是三角形数字!

2000多年前,古希腊数学家欧几里得毕达哥拉斯尼科马丘斯首先研究了完美数字。他们计算出了前几个完美数字, 想知道是否会有一些_奇数_的完美数。

今天,数学家们已经用计算机检查了前101500(即1后1500个零)个数字, 但 没有成功:他们找到的所有完美数字都是偶数。直到今天,仍然不知道是否有奇数的完 全数,这使它成为_所有数学_最古老的未解决的问题。

Euclid of Alexandria

冰雹序列

到目前为止,我们看到的大多数序列都有一个单一的规则或模式。但是没有理由我们不 能将多个不同的规则组合起来,例如像这样的递归公式:

如果 xn 是偶数:xn+1=xn/2
如果 xn 是奇数:xn+1=3xn+1

让我们从x1=5开始,看看会发生什么:

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

几项之后,序列似乎达到了一个“循环”:4,2,1将不断重复,直到永远。

当然,我们可以选择一个不同的起点,比如${n}。然后序列如下:

${hailstones(n)}, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

似乎序列的长度变化很大,但它总是以4、2、1这个循环结束—不管我们选择哪个数作为 起始。我们甚至可以在图表中可视化序列的项:

起始值:${n}

注意一些起始点是如何非常快速结束的, 而其他 (如31_或{span.var-action}47_)在达到4、2、1个循环之前有 上百步。

所有遵循这一递推公式的序列都被称为冰雹序列, 因为它们似乎在达到4、2、1这个循环之前随机上下移动-就像在撞击地球之前在云中上下移动的冰雹一样。

1937年,数学家洛塔尔·科拉茨提出,_每个_冰雹序列最终以4、2、1个 循环结束,不管你选择什么起始值。你已经检查了上面的一些起始点,计算机实际上已 经尝试了所有高达1020的数 - 即100亿亿或1后加上20个零那么大的数。

然而,有无限多的整数。不可能对每一个都进行检查,也没有人能够找到对所有整数都有 效的证明

就像寻找奇数的完美数一样,这仍然是数学中一个未解的问题。令人惊讶的是,这些简 单序列模式导致的问题甚至连几个世纪以来的世界上最好的数学家都感到困惑。

看和说的序列

这里还有一个序列,与上面看到的所有序列稍有不同。你能找到模式吗?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …

这个序列被称为看和说序列,模式就是名字所说的:从一个1开始,如果你“大声读出” 前一个数,那么接下来的每一项就是你得到的。下面是一个例子:

你现在能找到后续项吗?

…, 312211, , , …

这个序列经常被用作困扰数学家的迷题 - 因为这个模式似乎完全是非数学的。然而, 事实证明,这个序列有许多有趣的特性。例如,每个术语以结尾,并且从未使用 过大于的数字。

英国数学家约翰·康威发现,无论你选择什么数作为起始值,序列最终都 会分裂成不同的“部分”,不再相互作用。康威称之为_宇宙学定理_,并用化学元素、... 来命名不同的部分。

序列测验

你现在看到了无数不同的数学序列 —— 一些基于几何形状,一些遵循特定的公式,还有 一些看起来几乎是随机的。

在这个测验中,你可以结合你对序列的所有知识。只有一个目标:找到模式并计算接下 来的两项!

找下个数

7, 11, 15, 19, 23, 27, , , … 模式:总是 +4

11, 14, 18, 23, 29, 36, , , … 模式: +3, +4, +5, +6, …

3, 7, 6, 10, 9, 13, , , … 模式: +4, –1, +4, –1, …

2, 4, 6, 12, 14, 28, , , … 模式: ×2, +2, ×2, +2, …

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , … _{span.pattern.reveal(data-when="blank-8 blank-9")} 模式: 斐波那契数

27, 28, 30, 15, 16, 18, , , … 模式: +1, +2, ÷2, +1, +2, ÷2, …

1, 9, 25, 49, 81, 121, , , … 模式: 奇数平方数