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Secuencias y patronesTriángulo de Pascal

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A continuación puede ver una pirámide numérica que se crea usando un patrón simple: comienza con un solo "1" en la parte superior, y cada celda siguiente es la suma de las dos celdas directamente arriba. Pase el mouse sobre algunas de las celdas para ver cómo se calculan y luego complete las que faltan:

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Este diagrama solo muestra las primeras doce filas, pero podríamos continuar para siempre, agregando nuevas filas en la parte inferior. Observe que el triángulo es simétricoright-angledequilateral, lo que puede ayudarlo a calcular algunas de las celdas.

El triángulo se llama El triángulo de Pascal, llamado así por el matemático francés Blaise Pascal. Fue uno de los primeros matemáticos europeos en investigar sus patrones y propiedades, pero fue conocido por otras civilizaciones muchos siglos antes:

En 450 a. C., el matemático indio Pingala llamó al triángulo la "Escalera del Monte Meru", llamada así por una montaña sagrada hindú.

En Irán, se conocía como el "Triángulo de Khayyam" (مثلث خیام), llamado así por el poeta y matemático persa Omar Khayyám.

En China, el matemático Jia Xian también descubrió el triángulo. Fue nombrado después de su sucesor, "El triángulo de Yang Hui" (杨辉 三角).

El triángulo de Pascal se puede crear usando un patrón muy simple, pero está lleno de patrones y propiedades sorprendentes. Es por eso que ha fascinado a los matemáticos de todo el mundo, durante cientos de años.

Buscando secuencias

En las secciones anteriores viste innumerables secuencias matemáticas diferentes. Resulta que muchos de ellos también se pueden encontrar en el triángulo de Pascal:

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Los números en la primera diagonal a cada lado son todos unoincreasingeven.

Los números en la segunda diagonal a cada lado son los enterosprimessquare numbers.

Los números en la tercera diagonal a cada lado son los números de triángulosquare numbersFibonacci numbers.

Los números en la cuarta diagonal son los números tetraédricoscubic numberspowers of 2.

Si sumas todos los números en una fila, sus sumas forman otra secuencia: los oderes de dosperfect numbersprime numbers.

En cada fila que tiene un número primo en su segunda celda, todos los números siguientes son múltiplosfactorsinverses de ese primo.

El diagrama anterior resalta las diagonales "superficiales" en diferentes colores. Si sumamos los números en cada diagonal, obtenemos los números de FibonacciHailstone numbersgeometric sequence.

Por supuesto, cada uno de estos patrones tiene una razón matemática que explica por qué aparece. ¡Quizás puedas encontrar algunos de ellos!

Otra pregunta que puede hacer es con qué frecuencia aparece un número en el triángulo de Pascal. Claramente, hay infinitos 1s, uno 2, y todos los demás números aparecen al menos dos vecesat least onceexactly twice, en la segunda diagonal a cada lado.

Algunos números en el medio del triángulo también aparecen tres o cuatro veces. Incluso hay algunas que aparecen seis veces: puede ver tanto 120 como 3003 cuatro veces en el triángulo de arriba, y aparecerán dos veces más cada una en las filas 120 y 3003 .

Como 3003 es un número de triángulo, en realidad aparece dos veces más en las diagonales tercera del triángulo, lo que hace ocho ocurrencias en total.

Se desconoce si hay otros números que aparecen ocho veces en el triángulo, o si hay números que aparecen más de ocho veces. El matemático estadounidense David Singmaster planteó la hipótesis de que hay un límite fijo sobre la frecuencia con la que los números pueden aparecer en el triángulo de Pascal, pero aún no se ha demostrado.

Divisibilidad

Algunos patrones en el triángulo de Pascal no son tan fáciles de detectar. En el siguiente diagrama, resalte todas las celdas que son pares:

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Parece que el número par en el triángulo de Pascal forma otro triángulo más pequeñomatrixsquare.

Colorear cada celda manualmente lleva mucho tiempo, pero aquí puede ver qué sucede si haría esto para muchas más filas. ¿Y qué hay de las células divisibles por otros números?

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167960
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77520
38760
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4845
1140
190
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54264
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352716
352716
293930
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116280
54264
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5985
1330
210
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646646
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319770
170544
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7315
1540
231
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8855
33649
100947
245157
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817190
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1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
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1961256
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¡Guauu! Las celdas de colores siempre aparecen en triángulossquarespairs (a excepción de algunas celdas individuales, que podrían verse como triángulos de tamaño 1).

Si continuamos el patrón de celdas divisibles por 2, obtenemos uno que es muy similar al triángulo de Sierpinski a la derecha. Las formas como esta, que consisten en un patrón simple que parece continuar para siempre mientras se hacen cada vez más pequeñas, se denominan Fractales. Aprenderá más sobre ellos en el futuro …

Sierpinski Triangle

The Sierpinski Triangle

Coeficientes binomiales

Hay una propiedad más importante del triángulo de Pascal de la que tenemos que hablar. Para entenderlo, intentaremos resolver el mismo problema con dos métodos completamente diferentes y luego veremos cómo están relacionados.

MUY PRONTO