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序列和模式帕斯卡三角

揭示所有步驟

下面你可以看到一个使用简单模式创建的数字金字塔:它从顶部的一个“1”开始,下面 的每一个单元格都是上面两个单元格的和。将鼠标悬停在某些单元格上,查看它们是如 何计算的,然后填写缺少的单元格:

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这个图只显示了前12行,但理论上我们可以永远继续,在底部添加新行。请注意,这个 三角形是等腰三角形直角三角形等边三角形,这可以帮助你计算一些单元格。

这个三角形叫做帕斯卡三角形,以法国数学家 布莱斯·帕斯卡的名字命名。他是最早研究其模式和性质的欧洲数学家 之一,但许多世纪前其他文明已经知道这一点:

公元前450年,意大利数学家宾格拉将这个三角称为 梅鲁山的楼梯, 以一座神圣的印度教山命名。

在伊朗,它被称为哈亚姆三角(مثلث خیام), 是以波斯诗人和数学家 奥玛尔·哈亚姆的名字命名的。

在中国,数学家贾宪也发现了这个三角形,但它是以他的继任者杨辉 命名的:杨辉三角

帕斯卡的三角形可以用一个非常简单的模式来创建,但是它充满了令人惊讶的模式和特性。 这就是为什么几百年来它一直吸引着世界各地的数学家。

查找序列

在前面的部分中,你看到了无数不同的数学序列。事实证明,其中许多也可以在帕斯卡 三角形中找到:

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两侧第一个斜线中的数都是1递增偶数.

两侧第二个斜线中的数是整数素数平方数.

两侧第三个斜线中的数是三角数平方数斐波那契数.

第四个斜线中的数是四面体数立方数2的幂.

如果你将一行中的所有数字相加,它们的和形成另一个序列:2的幂完美数素数.

在第二单元格为素数的行中,数素后面的所有数都是该质数的倍数因子相反数

上图以不同颜色突出显示“浅”斜线。如果我们把每个斜线上的数相加,就得到了:斐波那契数 冰雹数几何序列.

当然,这些模式中的每个都有一个数学原因来解释它的出现。也许你能找到一些!

你可能会问的另一个问题是一个数字在帕斯卡三角形中出现的频率。很明显,有无限 多的1,一个2,而且其它数字都会至少两次至少一次正好两次出现在 两边的第二个斜线中。

三角形中间的一些数字也会出现三到四次。甚至有几个出现了六次:在上面的三角形中, 你可以看到1203003四次,在第120行和第3003行中,它们还 会再出现两次。

因为3003是一个三角形数,它实际上在三角形_第三条_斜线上又出现了两次 — 总共 出现了八次。

不知道三角形中是否还有其它出现八次的数字,或者是否有出现八次以上的数。美国 数学家大卫·辛格马斯特假设,数字在帕斯卡三角形中出现的频率 有一个固定的界限,但还没有得到证实。

整除性

帕斯卡三角形中的一些模式不太容易被发现。把下图中所有偶数单元格点亮显示:

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帕斯卡三角形中的偶数看起来形成了另一个小的三角形矩阵方形.

手动为每个单元格着色需要挺长时间,但在这里,如果你要对更多行执行这样的操作 你就可以看到会发生什么。单元格里的数被其它数整除又会怎么样呢?

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1352078
1144066
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哇哦!着色的单元格总是以三角形正方形成对的形式出现(除了少数单个单元格, 可以将其视为大小为1的三角形)。

如果我们继续将被整除2的单元格模式着色,我们得到一个非常类似于右边的 谢尔宾斯基三角形。像这样的形状,由一个简单的模式组成,它看起来会一 直延续下去,同时变得越来越小,被称为分形。以后你会学习 更多关于它们的知识…

谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯基三角形

二项式系数

帕斯卡三角还有一个更重要的性质,我们需要讨论它。为了理解这一点,我们将尝试用 两种完全不同的方法来解决同一个问题,然后看看它们之间的关系。

即将上线,敬请期待