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序列和模式介绍

揭示所有步驟

许多使用数学的专业人士都对数学的一个特定方面感兴趣 – 查找模式,并且专业 人士能够用它预测未来。以下是几个例子:

在过去的十年里,世界各地的警察部门开始更多地依赖数学。特殊的算法可以利用 过去犯罪的数据来预测未来犯罪发生的时间和地点。例如,预警(“预测性警务”的 简称)系统帮助洛杉矶部分地区的犯罪率降低了12%!

事实证明,地震与犯罪模式相似。就像一次犯罪可能引发报复,地震也可能引发余 震。在数学中,这被称为“自激过程”,并且有一些方程可以帮助预测下一个过程何时可 能发生。

银行家们还查看股票价格、利率和货币汇率的历史数据,以估计未来金融市场的变 化。能够预测一只股票的价值是涨是跌,这是非常有利可图的!

专业的数学家使用高度复杂的算法来查找和分析所有这些模式,但我们将从一些更基本 的方法开始。

简单序列

在数学中,序列通常是一系列遵循特定模式的数字(或其他对 象)。序列中的单个元素称为序列项

下面是一些序列的例子。你能找到他们的模式并计算出接下来的两个序列项吗?

3, 6+3, 9, 12, 15, , … 模式:“在前一个数字上加3,得到 下一个数字。”

4, 10, 16, 22, 28, , , … 模式:“在前一个数字上加6,得到 下一个数字。”

3, 4, 7, 8, 11, , , … 模式:“交替地在前一个数字上加 1和3,得到下一个数字。”

1, 2, 4, 8, 16, , , … 模式:“将前一个数字乘以2,得到 下一个数字。”

结尾的点(…)只意味着序列可以一直延续下去。在数学中引用这样的序列时,我们通常 用一个特殊的变量来表示每个项:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

x后面的小数字称为下标,表示该项在序列中的位置。这意味着我们可以用 xnxix2来表示序列中的第n项。

三角形数和平方数

数学中的序列不一定总是数字。这是一个由几何图形组成的序列 — 尺寸不断增大的三角形:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

triangle-4

triangle-5

triangle-6

在每一步中,我们都要在前一个三角形中再添加一行。这些新行的长度也每次增加一行。 你能看出模式吗?

1, 3+2, 6+3, 10+4, 15+5, 21+6 +7, +8, …

我们还可以使用特殊的公式来描述这个模式:

xn = xn1 + n

为了得到第n个三角形的数,我们取上一个第一个下一个三角形的数并加上n。 例如,如果n = ${n},公式将变为 x${n} = x${n-1} + ${n}.

xn表示成序列中之前项函数的公式称为递归公式, 只要知道序列中的第一项最后一项第二项,就可以计算出以下所有项。


由几何图形组成的另一个序列是平方数。每项都是由越来越大的正方形构成的:

1

square-1

4

square-2

9

square-3

square-4

square-5

square-6

对于三角形数,我们发现了一个递归公式: 它用序列_前一项_的函数告诉你序列的_下一项_。 对于平方数,我们可以做得更好:一个直接告诉你第n项的方程,而不需要先计算前面的 所有项:

xn =

像这样的方程被称为显式公式。例如,我们可以使用 它来计算第13个平方数是,而不需要首先找到前面的12个平方数。


让我们总结一下迄今为止我们看到的所有定义:

序列是数字、几何图形或其它对象的列表,它们遵循特定的模 式。序列中的单个项称为,并用xn等变量表示。

序列的递归公式是把第n项的值以之前项首项的 函数的方式告诉你。你还必须指定第一项。

序列的一个显式公式把第n项的值以n之前项 的函数的方式告诉你,而不涉及序列中的其它项。

动作序列摄影

在下面的部分中,你将了解许多不同的数学序列、令人惊讶的模式和意外的应用程序。

首先,让我们来看看完全不同的东西:动作序列摄影。摄影师快速连续拍摄许多张照 片,然后将它们合并成一幅图像:

你能看到滑雪者是如何形成一个序列的吗?模式不是相加或相乘,而是几何 变换。在两个连续的步骤之间,滑雪者同时被平移和 旋转反射扩大了。

以下是一些动作序列摄影的例子,供你欣赏: