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Secuencias y patronesNúmeros de Fibonacci

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Imagine que ha recibido un par de conejos, un macho y una hembra. Son conejos muy especiales, porque nunca mueren, y la hembra da a luz a un nuevo par de conejos exactamente una vez al mes (siempre otro par de machos y hembras).

1
1
2
3
5
8
En el primer mes, los conejos son muy pequeños y no pueden hacer mucho, pero crecen muy rápido.
Después de un mes, los conejos crecen y pueden comenzar a aparearse ...
... y después de otro mes, darán a luz a su primer par de hijos. Ahora tienes dos pares de conejos.
En el próximo mes, su pareja de conejos dará a luz a otra pareja. Mientras tanto, el primer par de niños ha crecido. Ahora tienes tres pares en total.
En el quinto mes, su pareja original de conejos dará a luz a una nueva pareja. Al mismo tiempo, su primer par de hijos ahora tiene la edad suficiente para dar a luz nietos. Ahora tienes cinco pares de conejos.
En el sexto mes, hay tres parejas más que dan a luz: la original, así como sus dos primeras parejas o hijos.

En el mes siguiente tendrías 13 pares de conejos: los 8 del mes anterior, más 5 nuevos grupos de bebés. ¿Puedes detectar un patrón en esta secuencia?

El número de conejos en un mes en particular es la suma de los dos números anteriorestwice the previous number. En otras palabras, debe agregar los dos términos anteriores en la secuencia, para obtener el siguiente. La secuencia comienza con dos 1s, y la fórmula recursiva es

xn = xn1 + xn2

¿Puedes calcular la cantidad de conejos después de unos meses más?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , { 1252}, _{.n} , , , , …

Entonces, después de 12 meses, ¡tendrás 144 pares de conejos!

Esta secuencia de números se llama Secuencia de Fibonacci, llamada así por el matemático italiano Leonardo Fibonacci.

Cuando Fibonacci nació en 1175, la mayoría de las personas en Europa todavía usaban el sistema de números romanos para los números (por ejemplo, IVX o MCMLIV). El padre de Fibonacci era un comerciante, y juntos viajaron al norte de África y al Medio Oriente. Fue allí donde Fibonacci aprendió por primera vez el sistema de numeración árabe.

Cuando regresó a Italia, Fibonacci escribió un libro llamado Liber Abaci (en latín, "El libro de los cálculos"), donde presentó por primera vez los nuevos números arábigos a los comerciantes europeos. Fueron un éxito inmediato, y todavía los usamos hoy.

Retrato de Leonardo Fibonacci

En una de las páginas de su libro, también investigó los patrones de reproducción de los conejos, por eso los números de Fibonacci llevan su nombre.

Páginas de Liber Abaci de Fibonacci

Por supuesto, los números de Fibonacci no son cómo pueblan los conejos en realidad en la vida real. Los conejos no tienen exactamente una descendencia macho y una hembra cada mes, y no hemos tenido en cuenta que los conejos mueran eventualmente.

Pero resulta que hay muchos otros lugares en la naturaleza donde aparecen los números de Fibonacci: por ejemplo, las espirales en las plantas. ¿Puedes contar cuántas espirales hay en cada dirección?

Original
Dextrorso
Sinistrórsum

Este cono de pino tiene espirales en sentido horario y espirales en sentido antihorario.

Original
Dextrorso
Sinistrórsum

Este girasol tiene 34 espirales en sentido horario y 55 espirales en sentido antihorario.

En ambos casos, los números de espirales son números consecutivos de Fibonacci. Lo mismo es cierto para muchas otras plantas: la próxima vez que salga, cuente la cantidad de pétalos en una flor o la cantidad de hojas en un tallo. ¡Muy a menudo encontrarás que son números de Fibonacci!

Por supuesto, esto no es solo una coincidencia. Hay una razón importante por la que a la naturaleza le gusta la secuencia de Fibonacci, de la que aprenderá más adelante.

Masculino
Hembra

Los números de Fibonacci también aparecen en las poblaciones de abejas melíferas.

En cada colonia de abejas hay una sola reina que pone muchos huevos. Si un huevo es fertilizado por una abeja macho, se convierte en una abeja hembra. Si no se fertiliza, se incuba en una abeja macho (llamada dron).

Esto significa que las abejas hembras tienen dos padresone parent, mientras que las abejas macho solo tienen un padretwo parents.

Si dibujamos el árbol ancestral de una abeja, ¡el número de padres, abuelos, bisabuelos y generaciones anteriores siempre son números de Fibonacci!

Ocasionalmente, las abejas jóvenes son alimentadas con una comida especial llamada "jalea real". En ese caso, se convierten en reinas y volarán para comenzar una nueva colmena.

La proporción áurea

Al igual que el triángulo y números cuadrados, y otras secuencias que hemos visto antes, la secuencia de Fibonacci se puede visualizar usando un patrón geométrico:

1 1 2 3 5 8 13 21
Comenzamos con dos cuadrados pequeños de tamaño 1.
A continuación, agregamos un nuevo cuadrado de tamaño 2, para formar un rectángulo más grande.
A continuación, agregamos un cuadrado de tamaño 3, para formar un rectángulo aún más grande.
El siguiente cuadrado tiene el tamaño 5. ¿Puedes ver que estamos recreando los números de Fibonacci?
Si continuamos agregando cuadrados, tendrán tamaño 8, 13, 21, y así sucesivamente.
Es posible que haya notado que, a medida que los rectángulos se hacen más grandes, parecen comenzar a "girar en espiral" hacia afuera. Incluso podemos visualizar esto dibujando una espiral perfecta que conecte las esquinas de los cuadrados.

En cada paso, los cuadrados forman un rectángulo más grande. Su ancho y alto son siempre dos números consecutivos de Fibonacci. La relación de aspecto del rectángulo es la relación de su ancho y su altura:

golden-1

21 = 2

golden-2

32 = 1.5

golden-3

53 = 1.666…

golden-4

85 = 1.6

golden-5

= 1.625

golden-6

= 1.62…

Observe cómo, a medida que agregamos más y más cuadrados, la relación de aspecto parece acercarse cada vez más a un número específico alrededor de 1.6. Este número se llama Golden Ratio y generalmente se representa con la letra griega φ ("phi"). Su valor exacto es

1+52=1.61803398875

Mucha gente cree que la proporción áurea es particularmente agradable estéticamente. Es por eso que a menudo lo usan artistas y arquitectos, como en estos dos ejemplos:

Se dice que el escultor griego Fidias utilizó la proporción áurea al diseñar el Partenón en Atenas. La primera letra de su nombre, φ, es el símbolo que ahora usamos para la proporción áurea.

El sacramento de la última cena, del artista español Salvador Dalí, es una de las muchas pinturas en la proporción áurea. En el fondo, también puede ver un gran dodecaedro.

Podemos aproximar la proporción áurea entre dividiendoaddingsubtracting dos números consecutivos de Fibonacci.

Sin embargo, resulta que el valor exacto de φ no puede escribirse como una fracción simple: es un número irracional, al igual que π y 2 y algunos otros números que has visto antes.

Espirales de Fibonacci

La proporción áurea explica por qué los números de Fibonacci aparecen en la naturaleza, como el cono de girasol y pino que viste al comienzo de esta sección.

Ambas plantas crecen hacia afuera desde su centro (una parte de la planta llamada meristemo). A medida que se agregan nuevas semillas, hojas o pétalos, empujan los existentes más hacia afuera.

Mueva el control deslizante hacia la derecha para visualizar cómo crece una planta. Observe cómo cada hoja se agrega en una rotación diferente a la anterior. El ángulo entre dos hojas consecutivas es siempre el mismo.

Es importante que las flores escojan un ángulo adecuado: las hojas o semillas deben estar aproximadamente a la misma distancia para que obtengan la mayor cantidad de luz solar y nutrientes. En el diagrama a continuación, puede explorar cómo se vería un girasol con diferentes ángulos entre sus semillas:

Si el ángulo es 0 °, todas las semillas crecerán en una sola fila larga lejos del centro.
Si el ángulo es 12 de una rotación completa (180 °), las semillas se alternarán entre dos "brazos" separados que se alejan del centro.
Si la rotación es otra proporción fraccional de 360 ​​°, por ejemplo 25 o 13 o 38, entonces el número de "brazos" será el mismo que el denominadornumeradorfactor primo de esa fracción.
Lamentablemente, los "brazos" son malos, porque significan que las semillas no están distribuidas de manera uniforme: todo el espacio entre los brazos se desperdicia. Pero si números racionales no van a funcionar, ¡intentemos números irracionales!
Un ejemplo de un número irracional es π. Pero si el ángulo entre las semillas es 1π de 360 ​​°, todavía parece que tenemos armas: 22 de ellas. Esto se debe a que la fracción 227=3.1429 es una aproximación bastante buena para π. Lo que realmente necesitamos es un número irracional que no se pueda aproximar por una simple fracción.
Resulta que la proporción áurea es solo eso: el "más irracional" de todos los números irracionales. Si el ángulo entre las semillas es 1φ de 360 ​​°, parecen estar espaciadas casi perfectamente. Y este es precisamente el ángulo que utilizan las plantas de todo el mundo.

Puede recordar desde arriba que las proporciones de números consecutivos de Fibonacci se acercan cada vez más a la proporción áurea, y es por eso que, si cuenta el número de espirales en una planta, a menudo encontrará un número de Fibonacci.

Es importante recordar que la naturaleza no sabe acerca de los números de Fibonacci. La naturaleza tampoco puede resolver ecuaciones para calcular la proporción áurea, pero en el transcurso de millones de años, las plantas tuvieron mucho tiempo para probar diferentes ángulos y descubrir la mejor.

Las plantas y los animales siempre quieren crecer de la manera más eficiente, y es por eso que la naturaleza está llena de patrones matemáticos regulares.

Fibonachos

Hasta ahora, solo hemos usado la ecuación recursiva para los números de Fibonacci. En realidad, también hay una ecuación explícita, pero es mucho más difícil de encontrar:

Fn=151+52n152n

También podríamos intentar elegir diferentes puntos de partida para los números de Fibonacci. Por ejemplo, si comenzamos con 2, 1, … en lugar de 1, 1, … obtenemos una secuencia llamada números de Lucas.

Resulta que, independientemente de los dos números iniciales que elija, las secuencias resultantes comparten muchas propiedades. Por ejemplo, las proporciones de términos consecutivos siempre convergen a la proporción áurea.

${a}, ${b}, ${a+b}, ${a+2×b}, ${2×a+3×b}, ${3×a+5×b}, ${5×a+8×b}, ${8×a+13×b}, …

Existen muchos otros acertijos, patrones y aplicaciones relacionados con los números de Fibonacci. Aquí hay algunos ejemplos, que puede probar usted mismo:

Problem solving

1. Divisibilidad de Fibonacci

(a) ¿Qué números de Fibonacci son pares? ¿Hay un patrón para ubicarlos a lo largo de la secuencia? ¿Puedes explicar porque?

(b) ¿Qué números de Fibonacci son divisibles por 3 (o divisibles por 4)? ¿Que notaste?


2. Sumas de Fibonacci

¿Qué sucede si sumas tres números consecutivos de Fibonacci? ¿Puedes explicar porque?


3. Escaleras de Fibonacci

Al subir las escaleras, puedo dar pasos individuales o saltar dos pasos a la vez. Esto significa que hay muchas posibilidades diferentes de cómo subir una escalera. Por ejemplo, si hay 5 pasos, tengo 8 opciones diferentes:

¿Cuántas opciones hay para escaleras con 6, 7 u 8 escalones? ¿Puedes detectar un patrón? ¿Y cómo se relaciona esto con los números de Fibonacci?

© FoxTrot, by Bill Amend