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序列和模式斐波那契序列

揭示所有步驟

想象一下,你收到了一对小兔子,一只雄兔和一只雌兔。它们是非常特别的兔子,因为 它们永远不会死,而雌兔每月正好生一对新的兔子(总是另一对雄兔和雌兔)。

1
1
2
3
5
8
在第一个月, 兔子很小而且不可能繁殖 - 但是它们长得非常快。
一个月后,兔子长大并开始交配…
… 再过一个月, 它们生下首对兔宝宝。现在你有两对兔子了。
下一个月,它们将生下另一对兔宝宝。同时,第一对兔宝宝长大。现在你总共有三对兔子了。
在第五个月,原来那对兔子会再生一对新的兔宝宝。同时,它们的下一代兔宝宝已经长大到可以生下一对兔孙子了。现在你已经有5对兔子了。
在第六个月,有多达3对兔子能够生兔宝宝:原来那对,以及它们早先生的前两对。

在接下来1个月你会有13对兔子:8对是上月已有的,加上5对新生兔宝宝。你能检测出 这个序列中的模式吗?

某个月内兔子的数量是前之两个月的数量和是之前一个月数量的两倍换句话说,你必须将序列中前两项相加,才能得到 下一项。序列以都为1的两项开始,递归公式

xn = xn1 + xn2

再过几个月后,你能计算出兔子的数目吗?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

如此12个月后,你将有144对兔子!

这个数字序列称为斐波那契序列,以意大利数学家列奥纳多·斐波那契的名字命名。

当斐波那契于1175年出生时,欧洲的大多数人仍然使用罗马数字系统 来表示数字(如IVX或MCLIV)。斐波那契的父亲是个商人,他们一起去了北非和中东。 正是在那里,斐波那契第一次学习了阿拉伯数字系统

当他回到意大利后,斐波那契写了一本书,名叫《_Liber Abaci_》(拉丁语,意为“计算之书”), 在那里他首次向欧洲商人介绍了新的阿拉伯数字。它们立即获得了欢迎 — 直到今天我们 仍在使用它们。

莱昂纳多·菲波那契的肖像

在他书中的一页上,他还研究了兔子的繁殖模式 — 这就是为什么斐波那契数是以他的名 字命名。

来自斐波那契的书 Liber Abaci

当然,斐波那契数并不是兔子在现实生活中的_实际_数量。兔子不是每个月生恰好一个 雄兔和一个雌兔后代,我们也甚至当作兔子不会死。

但事实证明,自然界中还有许多其它地方_确实_体现出斐波那契数,例如植物的螺旋。 你能计算出每个方向有多少个螺旋吗?

原样
顺时针
逆时针.

这个松果有个顺时针螺旋 同时有个逆时针螺旋。

原样
顺时针
逆时针.

这个太阳花有 34 顺时针螺旋同时 有 55 个逆时针螺旋。

在这两种情况下,螺旋的数目都是连续的斐波那契数。其他许多植物也是如此:下次你出去的时候,数一数一朵花的花瓣数,或者一根茎上的叶子数。你经常会发现它们是斐波那契数!

当然,这不仅仅是巧合。自然喜欢斐波那契序列有一个很重要的原因,稍后你将进一步了解。

雄性
雌性

斐波那契数也出现在蜜蜂种群中。

在每一个蜂群中,都有一个_蜂后_产下许多卵。如果一个卵被一只雄性蜜蜂受精,它就会 孵化成一只雌性蜜蜂。如果没有受精,它就会孵化成一只雄性蜜蜂(被称为雄蜂)。

这意味着雌蜂有双亲单亲,而雄蜂只有单亲双亲

如果我们画出一只蜜蜂的祖先树图,父母、祖父母、 曾祖父母和前几代的数量总是斐波那契数!

偶尔,有些年幼的蜜蜂被喂以 称为“蜂王浆”的特殊食物。在这种情况下,它们会变成蜂后, 然后飞走开始新的蜂巢。

黄金分割率

就像三角形数平方数以及我们 以前看到的其他序列一样,斐波那契序列可以使用几何图案进行可视化:

1 1 2 3 5 8 13 21
我们以两个大小为1的小正方形开始。
下一步,添加一个大小为2的新正方形,以形成一个大的矩形。
下一步,添加一个大小为3的正方形,以形成一个更大的矩形。
下一个添加的正方形大小为5。你能看出来我们正在创建斐波那契序列吗?
如果我们继续添加方形,它们的大小将为8, 13, 21,如此等等。
你也许已经注意到,随着矩形变大,它们看起来开启了向外“螺旋”。我们甚至能够将之可视化,通过把方形的角相连来画出完美的螺旋形。

在每一步,正方形形成一个更大的矩形。它的宽度和高度总是两个连续的斐波那契数。 矩形的纵横比是其宽度和高度的比:

golden-1

21 = 2

golden-2

32 = 1.5

golden-3

53 = 1.666…

golden-4

85 = 1.6

golden-5

= 1.625

golden-6

= 1.62…

注意,随着我们添加越来越多的正方形,纵横比似乎越来越接近于1.6左右的特定数字。 这个数字被称为黄金分割率,通常用希腊字母φ(“phi”)表示。 它的准确值是

1+52=1.61803398875

许多人认为黄金分割比在美学上特别令人愉悦。这就是为什么艺术家和建筑师经常使用它, 就像这两个例子:

据说希腊雕塑家菲迪亚斯在雅典设计_帕台农神庙_时使用了黄金比例。他名 字的第一个字母φ是我们现在用来表示黄金分割比的符号。

西班牙艺术家萨尔瓦多·达利的 最后的晚餐圣礼 是许多应用了黄金比例 的画作之一。在背景中,你还可以看到一个大的十二面体

我们可以用斐波那契数的两个连续项相除相加相减来近似黄金分割比。

然而,事实证明,φ的精确值不能写成一个简单的分数: 它是一个无理数,就像圆周率π 和 根号2 以及其它一些你以前见过的数。

斐波那契螺旋

黄金分割率解释了为什么斐波那契数出现在自然界中,就像你在本节开头看到的向日葵 和松果。

这两种植物都从中心(植物上叫做_分生组织_的部分)向外生长。当新的种子、叶子或花瓣 被添加时,它们将现有的种子、叶子或花瓣进一步推向外部。

移动右边的滑块来可视化展示植物的生长方式。请注意,每个叶是如何以不同于前一个 叶的旋转方式添加的。两个连续叶之间的角度总是相同的。

对于花来说,选择一个合适的角度是很重要的:叶子或种子必须大致等距分布,这样它们 才能获得最大的阳光和营养。在下面的图表中,你可以探索向日葵种子之间不同角度的外观:

如果角度为_{span.fib-action(data-value=0)}0°_,则所有种子 将在远离中心的一个长条中生长。
如果角度为圆周的12(180°), 则种子将在远离中心的两个独立“臂”之间交替。
如果旋转角度是360°的另一个分数比例,例如 2513 或 _{span.fib-action(data-value=3/8)}38_,则“臂数”将与那个分数的分母分子质因数相同。

不幸的是,“臂”不好,因为它们意味着种子分布不均匀:臂之间的所有空间都被浪费了。 但是如果有理数不起作用,让我们试试无理数

无理数的一个例子是π。但是,如果种子 之间的夹角为360°的_{span.fib-action(data-value=0.31831)}1π_,我们仍然可以 得到这些臂:22只。这是因为分数227=3.1429是一个很好的π近似值。我们 真正需要的是一个无理数,它_不能_用一个简单的分数来近似。
事实证明,黄金分割率是所有无 理数字中“最不合理的”。如果种子之间的夹角为360°的_{span.fib-action(data-value=0.6180339)}1φ_, 则它们看起来几乎是完全间隔的。这正是世界各地植物所使用的角度。

你可能记得从上面,续斐波那契数的比率越来越接近黄金比率——这就是为什么,如果 你计算一个植物的螺旋数,你会经常发现斐波那契数。

重要的是要记住,自然界并不知道斐波那契数。自然也无法解出方程来计算黄金分割 比——但在数百万年的过程中,植物有足够的时间尝试不同的角度并发现最佳角度。

植物和动物总是希望以最有效的方式生长,这就是为什么自然界充满规则的数学模式。

菲波那科斯

到目前为止,我们只使用了斐波那契数的递推方程。实际上,也有一个显式的方程 式——只是更难找到它:

Fn=151+52n152n

我们也可以尝试为斐波那契数选择不同的起始点。例如,如果我们从2,1开始, …,而不是 1,1开始,…,我们得到一个序列,它叫做卢卡斯序列

结果表明,无论你选择哪两个起始数字,结果序列都共有许多属性。例如,连续项的 比将总是收敛于黄金比率。

${a}, ${b}, ${a+b}, ${a+2×b}, ${2×a+3×b}, ${3×a+5×b}, ${5×a+8×b}, ${8×a+13×b}, …

还有许多其他的谜题、模式和应用与斐波那契数相关。以下是几个例子,你可以自己尝试:

问题求解

1. 斐波那契整除性

(a) 哪些斐波那契数是偶数?,它们在序列中的位置是否有一个模式?你能解释为什么吗?

(b) 哪些斐波那契数可被3整除(或可被4整除)?你注意到什么了?


2. 斐波那契和

如果你把三个连续的斐波那契数加起来会怎么样?你能解释为什么吗?


3. 斐波那契楼梯

当上楼梯时,我既可以一步上一阶楼梯,也可以一步上两阶楼梯。这意味着上楼梯的方 式有很多不同的可能性。例如,如果有5阶楼梯,我们有8种不同的选择:

对6、7或8阶楼梯有多少种选择?你能发现一个模式吗?这和斐波那契数有什么关系?

© FoxTrot, by Bill Amend