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序列和模式算术序列和几何序列

揭示所有步驟

在1682年,天文学家埃德蒙·哈雷发现了一个不寻常的现象:一个发光的, 有一条长长尾巴的白色物体,在夜空中移动。它是一颗彗星,一块在太空中飞行时留 着一道冰尘尾巴的小冰石。

哈雷记得其他天文学家早就观察到类似的彗星:一次在1530年,另一次在1606年。注意, 这些观察结果之间的差距是相同的: 年。

哈雷彗星图片,
1986年拍摄于复活节岛

哈雷得出结论: 这三次观测结果实际上都是同一颗彗星 — 现在被称为哈雷彗星。 它围绕太阳运行,大约每76年经过一次地球。他还预测了彗星下一次出现的时间:

1530, 1606+76, 1682+76, 1758+76, +76, +76, +76, …

事实上,该时间间隔不总是精准的76年: 它可能有1或2年的变化,因为彗星的运行 轨道受到其它行星的干扰。今天我们知道哈雷彗星早在公元前240年就被古代天文学家观 测到了!

哈雷彗星在时间上的分布:巴比伦的石碑(公元前164年)、中世纪的挂毯(1070年代)、科学杂志(1910年)和苏联的邮票(1986年)。

另一组科学家正在调查一个有弹性的网球的行为。他们把球从10米的高度扔下,并测量 了它随时间变化的位置。每次弹跳,球都会损失原来的一部分高度:

科学家们注意到,每次弹跳后,球会失去其高度的20%。换句话说,每次弹跳的最大高度 是前一次弹跳的80%。这使他们能够预测以下每一次弹跳的高度:

10, 8×0.8, ×0.8, ×0.8, 4.096×0.8, 3.277×0.8, 2.621×0.8, 2.097×0.8, …

定义

如果你比较这两个问题,你可能会发现有许多相似之处:哈雷彗星的序列在相邻项之间 有相同的比率,而网球的反弹在相邻项之间有相同的比率

具有这些属性的序列有个特殊名称:

一个算术序列在相邻项间有一个常数d

各项加上或减去同一个数字后,可以得到它的下一项。

一个几何序列在相邻项间有一个常数比率r

各项乘以或除以同一个数字后,可以得到它的下一项。

下面是几个不同的序列。你能确定哪些是算术序列、哪些是几何序列,哪些两个都不是? 能进一步确定它们的d_值或{.b.m-green}r_值吗?

2, 4, 8, 16, 32, 64, …

几何序列算术序列都不是, 比率为 .

2, 5, 8, 11, 14, 17, …

算术序列几何序列都不, 差为 .

17, 13, 9, 5, 1, –3, …

算术序列几何序列都不是, 差为 .

2, 4, 7, 11, 16, 22, …

都不是算术序列几何序列.

40, 20, 10, 5, 2.5, 1.25, …

几何序列算术序列都不是, 比率为 .

要定义一个算术序列或几何序列,我们不仅要知道公有的差或比率,还要知道初项值(称为a)。 在这里,你可以通过更改adr的值来生成自己的序列,并将它们的值绘制在图 表上。你能找出任何模式吗?

算术序列

a = ${a}, d = ${d}


${arithmetic(a,d,0)}, ${arithmetic(a,d,1)}, ${arithmetic(a,d,2)}, ${arithmetic(a,d,3)}, ${arithmetic(a,d,4)}, ${arithmetic(a,d,5)}, …

几何序列

a = ${b}, r = ${r}


${geometric(b,r,0)}, ${geometric(b,r,1)}, ${geometric(b,r,2)}, ${geometric(b,r,3)}, ${geometric(b,r,4)}, ${geometric(b,r,5)}, …

注意,所有算术序列看起 来非常相似: 如果差为正,则它们稳定地增加减少;而如果差为负,则它们稳定地 减少增加

另一方面,几何序列会由于ar的不同值而 展现出完全不一样的曲线行为。

如果 r>1, 则后面项将快速变大快速变小趋近0, 直到无穷。数学家称该序列发散.

如果 r 是介于 –1 和 1_之间, 后面项将总是 趋近0降至负无穷变小{span.reveal(data-when="blank-3")}. 我们称该序列收敛._

如果_{span.var-action}r<1_,则后面项将在正数和负数之间交替,而它们的 绝对值相反数将变大。

关于收敛和发散你将在本课的最后一节 学习更多。

递归和显式公式

在上一节中,你学到一个递归公式通过用前面项的函数 来告知你每个项的值。以下是算术序列和几何序列的递归公式:

xn= xn1+dxn1×dxd+n

xn= xn1×rxn1rxnr+n

递归公式有一个问题是找到一个项的值可能会花费很长时间,例如要找到第100项,我们 首先必须计算前面的99项。相反,我们可以尝试找到一个显式公式, 它直接告诉我们第n项的值。

对于 算术序列, 我们需要在每一步加 d :

x1= a

x2= a+d

x3= a+d+d

x4=

x5=

在第 n 项, 我们加了 n1nn+1 个同样的 d, 所以通项公式是:

xn=a+d×n1.

对于 几何序列, 我们每步乘以r:

x1=a

x2=a×r

x3=a×r×r

x4=

x5=

在第n项, 我们乘了 n1nn+1 个同样的 r, 所以通项公式是

xn=a×rn1.

以下是到目前为止你所看到的所有定义和公式的摘要:

一个算术序列有个首项a,在相邻的项之间有共同的差d

递归公式: xn=xn1+d

显式公式: xn=a+d×n1

一个几何序列有个首项a,在相邻的项之间有共同比率r

递归公式: xn=xn1×r

显式公式: xn=a×rn1

现在让我们来看一些能够使用所有这些知识的例子!

让爱传出去

这是电影_让爱传出去_的一个简短片段,12岁的特雷弗在其中解释了他让世界变得更好的想法:

节选自“让爱传出去” (2000), ©华纳兄弟娱乐

特雷弗的想法的本质是,如果每个人都“让爱传出去”,那么一个人就可以对世界产生巨大 的影响:

注意每一步的人数是如何形成一个具有比率__的几何序列算术序列三角形数

1, 3×3, 9×3, ×3, ×3, ×3, …

使用几何序列的显式公式,我们可以计算出在任何步骤中 有多少新用户受到影响:

xn =

人数增长得惊人之快。在第10步中,你将达到19683个新的目标,在22步之后,你将到达 比现在存活地球的人还多。

这个数字序列有一个特殊的名字:3的幂。如你所见,每一项实际上只是3的不同 次:

30, 31, 32, 33, 34, 35, …

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