Sözlük

Select one of the keywords on the left…

Çemberler ve PiKüre, Koni ve Silindir

Okuma zamanı: ~45 min

Geçtiğimiz bölümlerde düzlem üzerindeki çemberlerin özelliklerini inceledik. Fakat aslında dünyamız üç boyutlu, o yüzden çemberden yola çıkan üç boyutlu cisimlere de bir göz atalım:

Silindir eğimli bir yüzey ile birleştirilmiş iki eş, paralel çemberden oluşur.

Koni (tepe noktası adındaki)tek bir noktaya birleştirilmiş çembersel bir tabana sahiptir.

Kürenin yüzeyindeki her nokta merkezinden aynı mesafededir.

Kürenin tanımının ile neredeyse aynı olduğuna dikkat edin, tek farkı kürenin üç boyutta olması.

Silindir

Burada Almanya’da Oberhausen’daki Gazmetre yi görebilirsiniz. Yakınlardaki fabrika ve elektrik santrallerinde yakıt olarak kullanılan doğal gazı depolamak için kullanılıyor. Gazmetre’nin yüksekliği 120 m, tabanı ve tavanı ise yarıçapı 35 m olan büyük daireler. Burada mühendislerin merak ettiği iki önemli soru olabilir:

  • Ne kadar doğal gaz depolanabiliyor? Bu silindirin .
  • Gazmetreyi inşa etmek için ne kadar çelik gerekli? Bu (yaklaşık olarak) silindirin .

Hadi bu iki soruyu cevaplamak için gereken formülleri bulalım!

Oberhausen’daki Gazmetre

Silindirin Hacmi

Silindirin altında ve üstünde iki eş daire var, bunlara taban diyoruz. Bir silindirin yüksekliği h iki tabanı arasındaki dik mesafedir ve silindirin yarıçapı r ise tabandaki dairelerin yarıçapıdır.

Bir silindire ${n}-kenarlı bir prizma ile yaklaşabiliriz. Kenar sayısı arttıkça prizma giderek silindire benziyor.

Bir silindir teknik olarak bir prizma olmasa bile, pek çok ortak özelliğe sahipler. İki durumda da hacmi taban ile yüksekliği çarparak bulabiliriz. Demek ki yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindirin hacmi

V=

Burada yarıçap ve yüksekliğin aynı birim olması gerektiğini unutmayın. Örnerğin eğer r ve h ikisi de cm cinsinden ise, o zaman hacmin birimi olur.

Yukarıdaki örneklerde silindirin iki tabanı hep birbirinin tam üzerindeydi: Buna dik silindir denir. Eğer tabanlar tam üstüste değilse, _eğik silindir_den bahsederiz. Tabanlar hala paraleldir, ancak kenarlar 90°’den farklı bir açı yapmış, “yan yatmış” gibi görünür.

İtalya’daki Pisa kulesi tam bir eğik silindir değil.

Eğik silindirin hacmi, aynı yükseklik ve yarıçapa sahip dik bir silindir ile tam olarak aynı. Bunu İtalyan matematikçi Bonaventura Cavalieri’nin adıyla anılan Cavalieri İlkesi açıklar: eğer iki şeklin her yükseklikteki yatay kesitinin alanı aynıysa, o zaman şekillerin hacimleri de aynıdır.

Bir silindiri bir sürü ince daireye dilimlediğinizi düşünün. Sonrasında bu daireleri yukarı çıktıkça biraz yana kaydırarak eğik bir silindir elde edebiliriz. Bir yana kaydırdıkça tek tek parçaların hacimleri değişmiyor, dolayısıyla hacim de sabit kalıyor:

Silindirin Yüzey Alanı

Silindirin yüzey alanını bulmak için onu düz bir hale getirerek açarız. Bunu kendiniz de örneğin bir konserve kutusunun üzerindeki kağıdı çıkararak deneyebilirsiniz.

Silindirin bir üstünde bir de altında iki tane var. Eğimli yüzey aslında büyük bir .

  • İki büyük dairenin tek tek alanları .
  • Dikdörtgenin yüksekliği ve genişliği dairelerin ile aynı: .

Yani yüksekliği h ve yarıçapı r olan bir silindirin toplam yüzey alanı

A= .

Silindirler etrafta her yerde karşınıza çıkarlar, kola kutularından tuvalet kağıtlarına ya da su borularına. Aklınıza başka örnekler geliyor mu?

Yukarıdaki Gazmetre nin yarıçapı 35m ve yüksekliği 120m idi. Şimdi hacminin yaklaşık m3 olduğunu ve yüzey alanının yaklaşık m2 olduğunu hesaplayabiliriz.

Koni

Koni çembersel bir tabanı olan 3 boyutlu bir şekildir. Kenarları şekildeki gibi “yukarı doğru sivrilir” ve tepe noktası adındaki bir noktada biter.

Koninin yarıçapı çembersel tabanının yarıçapıdır, ve koninin yüksekliği tabandan tepe noktasına olan dik mesafedir.

Diğer şekiller gibi koni de her yerde karşımıza çıkar: dondurma külahı, trafik kukası, kimi çatılar ve hatta yılbaşı ağaçları. Aklınıza başka neler geliyor?

Koninin Hacmi

Daha önce silindirin hacmini ona bir prizma ile yakınsayarak bulduk. Benzer şekilde bir koninin hacmini ona bir piramit ile yakınsayarak bulabilirz.

Burada ${n} kenarlı bir piramit görebilirsiniz. Kenar sayısı arttıkça piramit gittikçe daha çok koniye benzer. Aslında koniyi sonsuz kenarlı bir piramit olarak düşünebiliriz!

Bu aynı zamanda hacim için V=13taban×yükseklik formülünü de kullanabiliriz demek. Koninin tabanı bir daire, yani yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir koninin hacmi

V=

Bir silindirin hacim formülüne olan benzerliğe dikkat edin. Koninin etrafına aynı yükseklik ve yarıçapta bir silindir çizersek buna çevrel silindir denir. Şimdi koni silindirin hacminin tam olarak kaplar.

Not: Sonsuz tane incecik kenar ile yaklaşımın çok “kesin” olmadığını düşünebilirsiniz. Matematik koninin hacmini hesaplamanın daha doğrudan bir yolunu bulmak için epey zaman harcadı. Hatta 1900’de büyük matematikçi David Hilbert bunu matematiğin çözülmemiş en önemli 23 sorusundan biri ilan etti! Bugün bunun aslında imkansız olduğunu biliyoruz.

Silindirde olduğu gibi konilerin de “düz” olması gerekmiyor. Eğer tepe noktası tabandaki çemberin merkezinin tam üzerindeyse, o zaman elimizdeki dik koni dir. Yoksa ona eğik koni adını veriyoruz.

Bir kez daha Cavalieri ilkesini kullanarak bütün eğik konilerin aynı taban yüksekliğe sahip olduğu sürece hacimlerinin aynı olduğunu gösterebiliriz.

Koninin Yüzey Alanı

Bir koninin yüzey alanını bulmak biraz daha zor. Önceki kişi bir koniyi iki boyutlu düzleme açabiliriz. Çubuğu kaydırarak nasıl olduğuna bakın: elimize bir daire ve bir geliyor.

Şimdi bu iki parçanın alanını toplamalıyız. Taban yarıçapı r olan bir daire, yani alanı

ATaban= .

Dilimin yarıçapı ise koninin tabanındaki çemberin bir noktasından tepesine olan mesafe ile aynı. Buna koninin eğik yüksekliği s diyoruz, ve bu koninin normal yüksekliği hden farklı. Eğik yüksekliği Pisagor teoreminden bulabiliriz.

s2=
s=

Dilimin yay uzunluğu tabanın ile aynı: 2πr. Şimdi dilimin alanını öndeki kısımda elde ettiğimiz formül ile hesaplayabiliriz:

ADilim=ADaire×yayçevre
=

Son olarak tabanın alanını ve dilimin alanını ekleyip koninin toplam yüzey alanını bulabiliriz:

A=

Küre

Küre üç boyutta verilen bir merkez noktası Cden aynı mesafedeki noktaların oluşturduğu şekildir. Bu mesafeye kürenin yarıçapı r denir.

Küreyi “üç boyutlu bir çember” olarak düşünebilirsiniz. Aynı çemberde olduğu gibi, kürenin de kirişleri, kesenleri ve bir çapı d vardır, bu çap yarıçapın uzunluğundadır.

Daha önceki bir bölümde Yunan matematikçi Eratosthenesin Dünyanın yarıçapını bir direğin gölgesini kullanarak ölçtüğünü öğrenmiştik, 6371 km bulmuştu. Şimdi Dünyanın toplam hacmini ve yüzey alanını bulmaya çalışalım.

Kürenin Hacmi

Bir kürenin hacmini bulmak için yine Cavalieri İlkesine başvurmak zorundayız. Önce bir yarıküre ile başlayalım, ekvator hizasından yarısı kesilmiş bir küre ile. Bir de bu yarıküre ile aynı yükseklik ve yarıçapa sahip bir silindire ihtiyacımız olacak, fakat ortasından ters çevrilmiş bir “koni” çıkartılmış olsun.

Aşağıdaki çubuğu kaydırdıkça bu iki şeklin tabandan belli bir yükseklikteki yatay kesitlerini görebilirsiniz:

Şimdi bu şekillerin tabandan belli bir h yüksekliğindeki yatay kesitlerinin alanını bulmaya çalışalım.

Yarıkürenin yatay kesitleri hep bir .

Yatay kesitin yarıçapı x dik bir üçgenin parçası, yani Pisagor teoremini kullanabiliriz:

r2=h2+x2.

O halde yatay kesitin alanı

A=

Silindirin yatay kesiti ise hep bir .

Ortadaki deliğin yarıçapı h. Halkanın alanını büyük çemberin alanından deliğin alanını çıkararak bulabiliriz:

A=πr2πh2
=πr2h2

İki şeklin de yatay kesitleri her seviyede aynı alana sahipler! Cavalieri İlkesine göre iki şeklin de eşit olmalı! Yarıkürenin hacmini silindirin hacminden koninin hacmini çıkararak bulabiliriz:

VYarıküre=VSilindirVKoni
=

Bir küre yarımküreden oluşur, yani bir kürenin hacmi şu kadardır

V=43πr3.

Dünya (yaklaşık olarak) yarıçapı 6,371 km olan bir küredir. O yüzden hacmi

V=
=1 km3

Dünyanın ortalama kütlesi 5510kg/m3tür. O zaman toplam kütlesi

Kütle=Hacim×Yoğunluk6×1024kg

Burada 6’dan sonra 24 tane sıfır var!

Eğer silindirin, koninin ve kürenin hacimlerini karşılaştırırsanız, geometrideki en güzel ilişkilerden birisini fark edebilirsiniz. Tabanının çapı kadar yüksekliği olan bir silindir düşünün. Bunun içine bir küreyi ve bir koniyi ram olarak oturtabiliriz:

+

Bu koninin yarıçapı r ve yüksekliği 2r. Hacmi

=

Kürenin yarıçapı r. Hacmi

Silindirin yarıçapı r ve yüksekliği 2r. Hacmi

Nasıl da bir koninin ve bir kürenin hacmini tam olarak silindirin hacmini bulduğumuzu gördünüz mü!

Kürenin Yüzey Alanı

Kürenin yüzey alanı için bir formül bulmak çok zor. Bunun bir sebebi kürenin yüzeyini koni ve silindirde yaptığımız gibi açıp “düzleştiremiyor” olmamız.

Bu özellikle harita yapanlar için bir problem. Dünyanın eğri, 3 boyutlu bir yüzeyi var, ancak basılan her harita düz ve iki boyutlu. Bu da coğrafyacıların hile yapması gerektiğini söylüyor: kimi alanları genişletip kimisini küçülterek.

Burada izdüşümler denilen bir kaç değişik çeşit harita görüyorsunuz. Kırmızı kareyi oynatarak bu alanın kürede gerçekte nasıl göründüğüne bakın:

Mercator
Silindirik
Robinson
Mollweide

Haritadaki kareyi hareket ettirdikçe 3-boyutlu küredeki asıl alanın şeklinin ve boyutunun nasıl değiştiğine bakın.

Kürenin yüzey alanını bulmak için bir kez daha ona değişik şekillerle yaklaşmayı deneyebiliriz, örneğin bir sürü yüzü olan bir çokgenle. Yüz sayısı arttıkça çokgen gittikçe daha çok bir küreye benzer.

COMING SOON: Sphere Surface Area Proof