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圆与圆周率球体、锥体与柱体

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揭示所有步驟

在前面的部分,我们研究了平面内圆的有关性质。但是我们的世界实际上是立体的,那么我们一起来研究下与圆有关的立体图形:

一个圆柱 包含两个部分,平行的底面与弯曲的侧面围成的。

一个 圆锥 包含一个底面并与一个点(称为顶点)相连。

一个 上的任意一点到球心的距离都是相等的。

注意这个关于球的定义与半径正方体的定义有哪些类似的地方——出了有三个维度。

圆柱

这边你可以看到德国奥伯豪森的圆柱形_储气罐_。它曾用于储存天然气为附近的工厂和发电站的提供能源。储气罐高达120m,底座和顶部是两个半径为35m的圆形。工程师们可能想回答两大重要的问题:

  • 这里能装多少的天然气?这是圆柱的直径体积面积
  • 建这么大一个储气罐需要多少的钢铁?近似于圆柱的表面积对角线周长

让我们一起来探索者两个问题的答案吧!

Gasometer Oberhausen

圆柱的体积

圆柱的顶部和底部是两个全等的圆,叫做 。圆柱的 h 是两个底面间的垂直距离,而圆柱体的 半径 r 则只是表示两圆形底部的半径。

我们可以把一个圆柱近似成${n}棱柱。当边数越来越多的时候,棱柱逐渐看起来像一个圆柱。

尽管确切的说圆柱不是棱柱,但他们有很多共同的性质。这两种图形,我们可以通过把 底面积 乘以 的形式得到它们的体积。也就是说一个半径为 r 且高为 h 的圆柱的体积为

V=

要注意半径和高的单位需要统一。例如,如果 rh 都是以cm为单位,那么体积的单位为cm3cm2cm

上面的例子中,圆柱的底都是在对方的正上方:这种叫做 _直圆柱_。如果底不在对方的上方,我们就得到一个 _斜圆柱_。它们的底面还是平行的,但是边“倾斜”了一个不是90°的角。

意大利的_比萨斜塔_不完全是一个斜圆柱。

通过证明发现一个斜圆柱的体积恰好等于一个相同半径和高的直圆柱。这是根据 卡瓦列里原理用意大利的数学家博纳文图拉•卡瓦列里的名字来命名:如果截两个几何体的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

假设把一个圆柱切成无数个小片。我们可以水平移动这些小片得到一个斜圆柱。每个圆片的体积并没有随着变倾斜而改变,因此总体积仍然是固定的:

圆柱体的表面积

要求一个圆柱体的表面积,我们需要吧它“展开”成水平的你自己也可以尝试一下,比如把一瓶罐头食品的包装带撕下来。

有两个正方形圆形,一个在圆柱的上面,另一个在下面。弯曲的侧面变成一个大大的长方形椭圆正方形

  • 两个圆的面积为 .
  • 长方形的高为 ,长方形的宽为 .且等于圆的周长正切直径

也就是说半径为 r 且高为 h 的圆柱的表面积为:

A= .

在世界各处我们都能找到圆柱的影子——从可乐瓶到卫生纸或者水管等。你还能想到其它的例子吗?

前面的_储气罐_的半径为35m且高为120m。我们现在可以得到它的体积的近似值为 m3 而表面积近似值为 m2

圆锥

一个圆锥是一个有圆的立体图形。如图所示,它的侧面“向上缩小”直至一个叫做顶点的点。

圆锥的 半径 为圆锥底面圆的半径,而 则为顶点到底面的垂直距离。

正如我们前面看到的其它图形,圆锥在我们身边也是无处不在:冰淇淋筒,锥形交通路标,某些屋顶,甚至圣诞树也是。你还能想到其它的吗?

圆锥的体积

我们前面求圆柱的体积时把它近似看成一个棱柱。类似的,我们求圆锥体积的时候可以把它近似看成一个棱锥.

这里我们可以看到一个${n}棱锥。随着边数越来越多,棱锥越来越像一个圆锥。实际上,我们可以把圆锥看成一个具有_无数_条侧棱的棱锥!

也就是说我们可以用这个体积公式:V=13×。圆锥的底是一个圆形,因此一个半径为r且高为h的圆锥的体积为

V=

注意这个公式与圆柱体积的相似之处。假设在圆锥旁边画一个圆柱,它们的底和高相同——这个称为 外切圆柱。此时,圆锥的刚好占到一半三分之一四分之一的圆柱体积。

备注:你可能认为通过无限分割成小块来估算是“不精确的”。数学界花了很长的时间试图去找到一个更直接的方式来计算圆锥的体积。在1900年,大数学家大卫•希尔伯特 甚至把它列为数学界23个最重要的待解问题之一!时至今日我们知道这确实不可能。

正如一个圆柱,一个圆锥也不必“直直的”。如果顶点就在底面圆圆心的正上方,我们就称之为 直圆锥。否则,我们就称之为 斜圆锥

再一次,我们可以利用卡瓦列里原理来说明斜圆柱具有相同的体积,如果它们的底和高是相同的。

圆锥的表面积

要求一个圆锥的表面积会有一点点麻烦。和之前一样,我们可以把圆锥展平。移动下面的滑块你可以发现:在这个问题中,我们得到一个圆形与一个扇形

现在我们只需要把这两个部分的面积相加即可。底面圆 的半径为 r,那么它的面积为

A= .

扇形 的半径为圆锥底面圆上的点到顶点的距离。这个叫做圆锥的 倾斜高度 s,和常说的 h 不太一样。我们可以用勾股定理算出倾斜的高度:

s2=
s=

扇形的 弧长 等于 直径弧长周长2πr。现在我们就可以使用前面部分产生的公式 进行计算扇形面积的公式了:

A扇形=A×弧长周长
=

最后,我们只需要把的面积和扇形的面积相加,就得到了圆锥的表面积:

A=

是一个由到给定的 中心 C 的距离相等的点组成的一个立体图形。这个距离叫做球的 半径 r

你可以把一个球看成一个“立体的圆”。和”一样,球也有 直径d,其长度为半径的一半两倍 ,还有弦和割线等等。

在前面的部分, 你学过了古希腊数学家埃拉托色尼如何通过一个碑影计算地球的半径——为6371km。现在,我们尝试计算地球的体积和表面积。

球的体积

计算一个球的体积,我们还需要再次使用卡瓦列里原理。我们先用一个半球——把一个球沿着中间的圆切成两半。我们还需要一个与半球有相同半径和高的圆柱,并从中间“挖去”一个圆锥。

当你向上滑动时,你可以看到这两个几何体的横截面距离底部的高度都是确定的。

让我们尝试计算这两个几何体在距离地面相同 高度h 的横截面的面积。

半球的横截面总是一个环形

横截面的 半径x 是一个 直角三角形 的一部分,那么我们就可以使用勾股定理:

r2=h2+x2.

此时,横截面的面积为

A=

柱体的横截面总是一个圆锥环形

这个孔的半径为h。我们可以把大圆的面积减去中间小孔的面积来计算环形的面积:

A=πr2πh2
=πr2h2

这看起来两个几何体在同一水平面的横截面的面积是相等的。根据卡瓦列里原理,两个几何体具有相同的表面积体积周长 {span.reveal(data-when="blank-0")我们可以通过把圆柱的体积减去圆锥的体积得到半球的体积:

V半球=V圆柱V圆锥
=

一个球由 个半球组成,也就是说它的体积就是

V=43πr3.

地球(大约)是一个半径为6371km的球体。因此它的体积为

V=
=1 km3

地球的平均密度为5510kg/m3。也就是说地球的总质量为

质量=体积×密度6×1024kg

也就是6后面跟着24个0!

如果你对圆柱、圆锥和球的体积进行比较,你可能会发现几何中一个最令人满意的关系之一。假设我们有一个高度与底面圆直径相同的圆柱。我们可以恰好把一个圆锥和一个球塞在里面:

+

这个圆锥的半径为r且高度为2r。它的体积是

=

这个球的半径为r。它的体积是

这个圆柱的半径为r且高度为2r。它的体积是

注意一下,如果我们把圆锥的体积球的体积,我们恰好得到一个圆柱的体积!

球的表面积

要得到计算一个球的表面积的公式是非常难的。一个原因就是我们无法像之前把圆锥或圆柱那样打开和“展平”球的表面。

这也是绘制地图的时候遇到的一个问题。地球有一个弯曲、三维的表面,但每张印刷的地图一定是水平和二维的。也就是说地理学家需要伪造:通过伸长或压缩某个区域。

这里你可以看到不同形式的地图,称为投影。试着移动红色的正方形,你可以观察到这个区域在地球仪上的_实际_样子:

墨卡托投影
圆柱投影
罗宾森投影
摩尔威德投影

当你移动地图上面的正方形时,注意三维地球仪上面 实际区域的大小与形状的变化。

为了计算球的表面积,我们还需要使用一个不同的形状进行估算——例如一个具有很多面的多面体。当面的数量越来越多,多面体开始越来越像一个球。

即将推出:球的表面积的证明