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Kreise und PiEinführung

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Solange es Menschen gibt, haben wir zum Himmel geschaut und versucht, das Leben auf der Erde mit der Bewegung von Sternen, Planeten und Mond zu erklären.

Die altgriechischen Astronomen entdeckten als erste, dass sich alle Himmelsobjekte auf regelmäßigen Bahnen, den so genannten Umlaufbahnen, bewegen. Sie glaubten, dass diese Bahnen immer kreisförmig sind. Schließlich sind Kreise die "vollkommenste" aller F: symmetrisch in alle Richtungen und damit eine passende Wahl für die zugrunde liegende Ordnung unseres Universums.

Die Erde steht im Mittelpunkt des ptolemäischen Universums.

Jeder Punkt auf einem Kreis hat den gleichen Abstand von seinem Mittelpunkt. Das bedeutet, dass sie mit einem Zirkel gezeichnet werden können:

Es gibt drei wichtige Maße im Zusammenhang mit Kreisen, die du kennen solltest:

  • Der Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zur Kreislinie.
  • Der Durchmesser ist der Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten auf einem Kreis. Er geht durch den Mittelpunkt, und seine Länge ist doppelthalbgenau so groß wie der Radius.
  • Der Umfang entspricht der Länge der Strecke um einen Kreis.

Eine wichtige Eigenschaft von Kreisen ist, dass alle Kreise ähnlich sind. Du kannst das überprüfen, indem du zeigst, dass alle Kreise durch einfaches Verschieben und Vergrößern bzw. Verkleinern exakt passend übereinander gelegt werden können:

Du erinnerst dich vielleicht daran, dass bei ähnlichen Vielecken das Verhältnis zwischen den entsprechenden Seiten immer konstant ist. Ähnliches gilt für Kreise: Das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser ist für alle Kreise gleich groß. Es beträgt immer 3,14159.... - eine geheimnisvolle Zahl namens Pi, die oft als griechischer Buchstabe π für “p” geschrieben wird. Pi hat unendlich viele Dezimalstellen, die sich bis in alle Ewigkeit ohne ein bestimmtes Muster aneinanderreihen:

Wir haben hier ein Rad mit dem Durchmesser 1. Wenn du den Umfang “abrollst”, kannst du sehen, dass seine Länge genau π2·π3 ist:

01234π

Bei einem Kreis mit dem Durchmesser d ist der Umfang u=d×π. Ebenso ist bei einem Kreis mit dem Radius r der Umfang

u= 2rπrπr2π.

Kreise sind vollkommen symmetrisch und haben keine “Schwachstellen” wie die Ecken eines Vielecks. Dies ist einer der Gründe, warum sie überall in der Natur zu finden sind:

Blumen

Planeten

Bäume

Früchte

Seifenblasen

Und es gibt noch so viele andere Beispiele: von Regenbögen bis hin zu ins Wasser geworfenen Steinen. Fällt dir sonst noch etwas ein?

Man hat außerdem festgestellt, dass ein Kreis die Form mit der größten Fläche bei einem bestimmten Umfang ist. Wenn du zum Beispiel ein Seil mit einer Länge von 100 m hast und damit die größtmögliche Fläche umschließen willst, mußt du damit einen Kreis bilden (und nicht andere Formen wie ein Rechteck oder Dreieck).

In der Natur können Objekte wie Wassertropfen oder Luftblasen Energie sparen, indem sie kreisförmig oder kugelförmig werden und damit ihre Oberfläche reduzieren.

Dreieck
Quadrat
Fünfeck
Kreis

Umfang = 100, Fläche = ${area}

Die Fläche eines Kreises

Die Fläche eines Kreises berechnen - wie soll das denn gehen? Wir könnten die gleiche Vorgehensweise, die wir bei der Berechnung der Viereckflächen angewandt haben, versuchen: Wir schneiden die Form in mehrere verschiedene Teile und legen diese dann zu einer anderen Figur zusammen, von der wir bereits die Fläche kennen (z.B. ein Rechteck oder ein Dreieck).

Was es etwas komplizierter macht ist, dass wir, da Kreise gekrümmt sind, ein paar Annäherungen treffen müssen:

rπr

Hier siehst du einen Kreis, der in ${n1} Tortenstücke unterteilt ist. Bewege den Schieberegler, um die Tortenstücke in einer Reihe anzuordnen.

Wenn wir die Anzahl der Tortenstücke auf ${n1} erhöhen, beginnt diese Form immer mehr wie ein RechteckKreisQuadrat auszusehen.

Die Höhe des Rechtecks entspricht dem RadiusDurchmesserUmfang des Kreises. Die Breite des Rechtecks entspricht der Hälfte des Umfangsdem Umfangdem doppelten Radius des Kreises. (Beachte, wie die Hälfte der Tortenstücke nach unten und die andere Hälfte nach oben zeigt.)

Daher beträgt die Gesamtfläche des Rechtecks etwa A=r2π.

r2πr

Hier siehst du einen Kreis, der in ${n} Ringe unterteilt ist. Wie zuvor kannst du den Schieberegler bewegen, um die Ringe gerade zu biegen.

Wenn wir die Anzahl der Ringe auf ${n2} erhöhen, beginnt diese Form immer mehr wie ein DreieckRechteckTrapez auszusehen.

Die Höhe des Dreiecks entspricht dem RadiusDurchmesserUmfang des Kreises. Die Basis des Dreiecks ist gleich der Umfangder doppelte Durchmesser des Kreises. Daher beträgt die Gesamtfläche des Dreiecks ungefähr

A=12Basis×Höhe=r2π.

Wenn wir unendlich viele Ringe oder Tortenstücke verwenden könnten, wären die obigen Näherungen perfekt - und sie ergeben beide die gleiche Formel für die Fläche eines Kreises:

A=r2π.

Berechnung von Pi

Wie du oben gesehen hast, ist π=3,1415926 keine einfache ganze Zahl, und ihre Dezimalstellen gehen ewig weiter, ohne dass sich ein Muster wiederholt. Zahlen mit dieser Eigenschaft werden als irrationale Zahlen bezeichnet, und das bedeutet, dass π nicht als einfacher Bruch ab ausgedrückt werden kann.

Es bedeutet auch, dass wir nie alle Ziffern von Pi aufschreiben können - schließlich gibt es unendlich viele. Altgriechische und chinesische Mathematiker berechneten die ersten vier Dezimalstellen von Pi, indem sie Kreise mit regelmäßigen Vielecken annäherten. Beachte, wie das Vieleck, wenn du mehr Seiten hinzufügst, anfängt, immer mehrimmer wenigergenau wie ein Kreis auszusehen:

1665 gelang es Isaac Newton, 15 Stellen zu berechnen. Heute können wir mit leistungsstarken Computern den Wert von Pi mit einer viel höheren Genauigkeit berechnen.

Der aktuelle Rekord liegt bei 31,4 Billionen Stellen. Ein gedrucktes Buch mit all diesen Ziffern wäre etwa 400 km dick - das ist die Höhe, in der die Internationale Raumstation die Erde umkreist!

Natürlich musst du dir nicht so viele Ziffern von Pi merken. Tatsächlich ist der Bruch 227=3,142 eine gute Annäherung.

Ein Ansatz zur Berechnung von Pi ist die Verwendung unendlicher Zahlenreihen. Hier ist ein Beispiel, das 1676 von Gottfried Wilhelm Leibniz entdeckt wurde:

π=4143+4547+494+

Wenn wir mehr und mehr Terme dieser Reihe berechnen, immer nach dem gleichen Muster, wird das Ergebnis sich immer mehr Pi annähern.

Viele Mathematiker glauben, dass Pi eine noch seltsamere Eigenschaft hat: nämlich dass sie eine sogenannte normale Zahl ist. Das bedeutet, dass die Ziffern von 0 bis 9 völlig zufällig auftreten, als ob die Natur einen 10-seitigen Würfel unendlich oft gewürfelt hätte, um den Wert von Pi zu bestimmen.

Hier kannst du die ersten 100 Ziffern von Pi betrachten. Bewege den Zeiger über einige der Zellen, um zu sehen , wie die Ziffern verteilt sind.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
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9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
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3
8
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2
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0
2
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8
4
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7
1
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9
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9
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7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Wenn Pi normal ist, bedeutet das, dass du dir eine beliebige Zahlenkette ausdenken kannst, und sie wird irgendwo in den Ziffern von Pi erscheinen. Hier kannst du die erste Million Ziffern von Pi durchsuchen - enthalten sie deinen Geburtstag?

Eine Million Stellen von Pi

Suche nach einer Zahlenkette:
3.

Wir könnten sogar ein ganzes Buch, wie Harry Potter, in eine sehr lange Zeichenkette umwandeln (a = 01, b = 02, und so weiter). Wenn Pi normal ist, wird diese Zeichenkette irgendwo in ihren Ziffern erscheinen - aber es würde Millionen von Jahren dauern, bis genügend Ziffern berechnet sind, um sie zu finden.

Pi ist leicht zu verstehen, aber von grundlegender Bedeutung für Naturwissenschaften und Mathematik. Das könnte ein Grund dafür sein, dass Pi in unserer Kultur ungewöhnlich beliebt geworden ist (zumindest im Vergleich zu anderen Themen der Mathematik)

Pi ist die geheime Kombination für die Tafel in Nachts im Museum 2.

Professor Frink (Simpsons) bringt einen Raum mit lauter Wissenschaftlern zum Schweigen, indem er sagt, dass Pi gleich 3 ist.

Spock (“Star Trek”) deaktiviert einen bösartigen Computer, indem er ihn bittet, die letzte Ziffer von Pi zu berechnen.

Es gibt sogar jedes Jahr einen Pi Day (Pi-Tag), der entweder am 14. März begangen wird, weil π3.14, was der Datumsschreibweise im englischsprachigen Raum entspricht, oder der am 22. Juli gefeiert wird, weil π227, also 22/7 (eine andere Datumsschreibweise).