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Dreiecke und TrigonometrieSinus- und Kosinussätze

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Bisher funktioniert alles, was du über die Trigonometrie gelernt hast, nur in rechtwinkligen Dreiecken. Aber die meisten Dreiecke sind nicht rechtwinklig, und es gibt zwei wichtige Ergebnisse, die für alle Dreiecke funktionieren

Sinussatz
In einem Dreieck mit den Seiten a, b und c, und den Winkeln A, B und C,

sinaa=sinbb=sincc

Kosinussatz
In einem Dreieck mit den Seiten a, b und c, und den Winkeln A, B und C,

c2=a2+b22abcosC
b2=c2+a22cacosB
a2=b2+c22bccosA

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Die Große Trigonometrische Vermessung

Erinnerst du dich noch an die Suche nach dem höchsten Berg der Erde in der Einleitung? Mit der Trigonometrie haben wir endlich die Werkzeuge das zu bewerkstelligen!

Die Vermesser in Indien haben den Winkel zur Bergspitze von zwei verschiedenen Positionen aus gemessen, die im Abstand von 5 km liegen. Die Ergebnisse waren 23° und 29°.

Da der Winkel α ein Supplementärwinkel ist, wissen wir, dass er ° betragen muss. Jetzt können wir die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks verwenden, um herauszufinden, dass der Winkel β ° beträgt.

Jetzt kennen wir alle drei Winkel des Dreiecks, sowie eine der Seiten. Das genügt, um mit dem SinussatzKosinussatz den Abstand d zu finden:

sin151°d5=sin5d
d=sin151°×5sin
=23.2 km

Es gibt noch einen letzten Schritt: Wir wollen uns das große, rechtwinklige Dreieck ansehen. Wir kennen bereits die Länge der Hypotenuse, aber was wir wirklich brauchen, ist die Länge der GegenkatheteAnkathete . Wir können sie mit der Definition des sin finden:

sin23°=height2323height
Höhe=sin23°×23
=8.987 km

Und dieser Wert ist sehr nahe an der tatsächlichen Höhe des Mount Everest, dem höchsten Berg der Welt: 8.848 m.

Diese Erklärung vereinfacht die außerordentliche Arbeit der Mathematiker und Geographen, die an der Großen Trigonometrische Vermessung arbeiteten, erheblich. Sie starteten vom Meeresspiegel am Strand, maßen Tausende von Kilometern, bauten Vermessungstürme im ganzen Land und berücksichtigten sogar die Krümmung der Erde.