Glossar

Select one of the keywords on the left…

Dreiecke und TrigonometrieEigenschaften von Dreiecken

Reading time: ~35 min
Reveal all steps

Fangen wir ganz einfach an: Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur mit drei Seiten (die Strecken sind) und drei Eckpunkten (die Punkte, an denen sich die Seiten treffen). Es hat auch drei Innenwinkel, und wir wissen bereits, dass ihre Summe immer ° beträgt.

Wir können Dreiecke nach der Größe ihrer Winkel einteilen:

Ein rechtwinkliges Dreieck
hat einen rechten Winkel.

Ein stumpfwinkliges Dreieck
hat einen stumpfen Winkel.

Ein spitzwinkliges Dreieck
hat spitze Winkel.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit beschriften wir Dreiecke immer auf die gleiche Weise. Die Eckpunkte werden mit Großbuchstaben A, B und C, die Seiten mit Kleinbuchstaben a, b und c und die Winkel mit griechischen Buchstaben α, β and γ (“alpha”, “beta” und “gamma”) bezeichnet.

Die [Seite, die gegenüber dem Eckpunkt A ](target:X) liegt, ist mit a, und der Winkel, der direkt bei A anliegt, mit α bezeichnet. Auf dieselbe Art und Weise verfahren wir bei B/b/β und bei C/c/γ.

Seitenhalbierende (Schwerlinien)

Hier siehst du ein Dreieck sowie die Mittelpunkte seiner drei Seiten.

Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Zeichne die drei Seitenhalbierenden dieses Dreiecks. Was passiert, wenn du die Eckpunkte des Dreiecks verschiebst?

Es scheint, dass sich die Seitenhalbierenden immer in einem Punkt schneidenals gleich groß herausstellengegenseitig halbieren. Dieser Punkt wird als Schwerpunktbezeichnet.

Schwerlinien (Seitenhalbierende) teilen sich immer im Verhältnis 2:1. Für jede der drei Schwerlinien ist der Abstand vom Eckpunkt zum Schwerpunkt immer zweimaldreimalgenau so lang wie der Abstand vom Schwerpunkt zum Mittelpunkt der Seite.

Der Schwerpunkt ist auch der “Balancierpunkt” eines Dreiecks. Zeichne ein Dreieck auf einen Karton, schneide es aus und finde die drei Seitenhalbierenden (Schwerlinien). Wenn du genau gearbeitet hast, kannst du das Dreieck nun auf der Bleistiftspitze ausbalancieren oder es ganz waagrecht an einem Stück Schnur aufhängen, die an seinem Schwerpunkt befestigt ist:

Das funktioniert, weil das Gewicht des Dreiecks gleichmäßig um den Schwerpunkt verteilt ist. In der Physik wird dieser Punkt oft als Massenschwerpunkt bezeichnet.

Jede gerade Linie, die durch den Schwerpunkt verläuft, teilt das Dreieck in zwei Teile, die genau die gleiche Fläche haben. Verschiebe den blauen Punkt in der Abbildung rechts. Die roten und grünen Bereiche haben immer die gleiche Fläche.

Streckensymmetralen und Umkreis

Erinnere dich, dass die Streckensymmetrale einer Strecke die Senkrechte ist, die durch ihren Mittelpunktihre Endpunkte verläuft.

Zeichne die Streckensymmetrale aller drei Seiten dieses Dreiecks. Um die Streckensymmetrale einer Seite des Dreiecks zu zeichnen, klicke auf einen Eckpunkt und ziehe ihn einfach zum anderen Endpunkt der Seite.

Wie zuvor schneiden sich die drei Streckensymmetralen in einem einzigen Punkt. Und wieder hat dieser Punkt eine besondere Eigenschaft.

Jeder Punkt auf einer Streckensymmetrale hat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke, die er halbiert. So hat beispielsweise jeder Punkt auf der blauen Symmetrale den gleichen Abstand zu den Punkten A und C und jeder Punkt auf der roten Symmetrale den gleichen Abstand zu den Punkten A und BA und CB und C.

Der Schnittpunkt liegt auf allen drei Senkrechten, daher muss er den gleichen Abstand zu allen drei EckpunktenSeiten des Dreiecks haben.

Das bedeutet, dass wir einen Kreis um ihn herum zeichnen können, der genau durch alle Eckpunkte geht. Dieser Kreis wird als Umkreis des Dreiecks bezeichnet, und sein Mittelpunkt wird als Umkreismittelpunkt bezeichnet.

Das heißt, dass wenn du drei Punkte gegeben hast, du den Umkreismittelpunkt benutzen kannst, um den Kreis zu finden, der durch alle diese drei Punkte geht. (Es sei denn, die Punkte sind kollinearparallel, in diesem Fall liegen sie alle auf einer geraden Linie.)

Winkelsymmetralen und Inkreis

Du hast jetzt wahrscheinlich den Dreh raus: Wir wählen eine bestimmte Geradenkonstruktion aus, führen diese dreimal für alle Seiten/Winkel der Dreiecke aus, und versuchen dann herauszufinden, was das Besondere am Schnittpunkt der Geraden ist.

Erinnere dich, dass die Winkelsymmetrale einen Winkel genau in der Mitte teilt. Zeichne die Winkelsymmetrale aller drei Winkel dieses Dreiecks. Um einen Winkelhalbierenden zu zeichnen, musst du auf die drei Punkte klicken, die den Winkel bilden , den du halbieren möchtest.

Auch hier schneiden sich alle drei Linien in einem Punkt. Du hast so etwas wahrscheinlich erwartet, aber es ist wichtig zu beachten, dass es eigentlich keinen offensichtlichen Grund gibt, warum dies passieren sollte - außer dass Dreiecke eben sehr spezielle Figuren sind!

Punkte, die auf einer Winkelsymmetralen liegen, haben den gleichen Abstand zu den beiden Linien, die den Winkel bilden. Zum Beispiel hat jeder Punkt auf der blauen Symmetrale den gleichen Abstand von Seite a und Seite c, und jeder Punkt auf der roten Symmetrale hat den gleichen Abstand von den Seiten a und ba und cb und c.

Der Schnittpunkt liegt auf allen drei Symmetralen. Daher muss er den gleichen Abstand von allen drei SeitenEckpunkten des Dreiecks haben.

Das bedeutet, dass wir einen Kreis um ihn herum zeichnen können, der innerhalb des Dreiecks liegt und seine drei Seiten nur in jeweils einem Punkt berührt. Dieser Kreis wird als Inkreis des Dreiecks bezeichnet, und sein Mittelpunkt als Inkreismittelpunkt.

Fläche und Höhen

Die Berechnung der Fläche eines Rechtecks ist einfach: Man multipliziert einfach seine Breite mit seiner Höhe. Das Bestimmen der Fläche eines Dreiecks ist etwas weniger offensichtlich. Beginnen wir damit, ein “passgenaues” Rechteck um unser Dreieck zu zeichnen.

Die Länge des Rechtecks ist gleich der Länge der unteren Seite des Dreiecks (die als Grundseite (Basis) bezeichnet wird). Die Höhe des Rechtecks ist der senkrechte Abstand von der Basis zum gegenüberliegenden Eckpunkt.

Die Höhe teilt das Dreieck in zwei Teile. Beachte, dass die zwei Lücken im Rechteck genau so groß sind wie die beiden entsprechenden Teile des Dreiecks. Das bedeutet, dass das Rechteck doppeltdreimalgenau so groß wie das Dreieck ist.

Wir können die Fläche des Rechtecks leicht herausbekommen, und die Fläche des Dreiecks muss dann also halb so groß sein:

A=12× Basis × Höhe

Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, kannst du eine der drei Seiten als Basis auswählen und dann die entsprechende Höhe bestimmen, d.h. die Strecke, die senkrechtparallel zur Basis und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.

In Dreiecken spricht man von der Höhe auf die Seite. Jedes Dreieck hat Höhen.

Wie die Seitenhalbierenden (Schwerlinien), Streckensymmetralen und Winkelsymmetralen schneiden sich auch die drei Höhen eines Dreiecks in einem einzigen Punkt. Dieser wird als Höhenschnittpunkt des Dreiecks bezeichnet.

Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Höhenschnittpunkt innerhalbaußerhalbauf einem Eckpunkt des Dreiecks.

Bei stumpfwinkligen Dreiecken, liegt der Höhenschnittpunkt außerhalbinnerhalbauf einem Eckpunkt des Dreiecks.

Bei rechtwinkligen Dreiecken ist der Höhenschnittpunkt ein Eckpunktinnerhalbaußerhalb des Dreiecks. Zwei der Höhen sind eigentlich nur Seiten des Dreiecks.