Dreiecke und TrigonometrieEigenschaften von Dreiecken

Aus Gründen der Übersichtlichkeit beschriften wir Dreiecke immer auf die gleiche Weise. Die Eckpunkte werden mit Großbuchstaben A, B und C, die Seiten mit Kleinbuchstaben a, b und c und die Winkel mit griechischen Buchstaben α, β and γ (“alpha”, “beta” und “gamma”) bezeichnet.

Die Seite, die gegenüber dem Eckpunkt A liegt, ist mit a, und der Winkel, der direkt bei A anliegt, mit α bezeichnet. Auf dieselbe Art und Weise verfahren wir bei B/b/β und bei C/c/γ.

Hier siehst du ein Dreieck sowie die Mittelpunkte seiner drei Seiten.

Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Zeichne die drei Seitenhalbierenden dieses Dreiecks. Was passiert, wenn du die Eckpunkte des Dreiecks verschiebst?

Es scheint, dass sich die Seitenhalbierenden immer in einem Punkt schneidenals gleich groß herausstellengegenseitig halbieren. Dieser Punkt wird als Schwerpunktbezeichnet.

Schwerlinien (Seitenhalbierende) teilen sich immer im Verhältnis 2:1. Für jede der drei Schwerlinien ist der Abstand vom Eckpunkt zum Schwerpunkt immer zweimaldreimalgenau so lang wie der Abstand vom Schwerpunkt zum Mittelpunkt der Seite.

Erinnere dich, dass die Streckensymmetrale einer Strecke die Senkrechte ist, die durch ihren Mittelpunktihre Endpunkte verläuft.

Zeichne die Streckensymmetrale aller drei Seiten dieses Dreiecks. Um die Streckensymmetrale einer Seite des Dreiecks zu zeichnen, klicke auf einen Eckpunkt und ziehe ihn einfach zum anderen Endpunkt der Seite.

Wie zuvor schneiden sich die drei Streckensymmetralen in einem einzigen Punkt. Und wieder hat dieser Punkt eine besondere Eigenschaft.

Jeder Punkt auf einer Streckensymmetrale hat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke, die er halbiert. So hat beispielsweise jeder Punkt auf der blauen Symmetrale den gleichen Abstand zu den Punkten A und C und jeder Punkt auf der roten Symmetrale den gleichen Abstand zu den Punkten A und BA und CB und C.

Der Schnittpunkt liegt auf allen drei Senkrechten, daher muss er den gleichen Abstand zu allen drei EckpunktenSeiten des Dreiecks haben.

Das bedeutet, dass wir einen Kreis um ihn herum zeichnen können, der genau durch alle Eckpunkte geht. Dieser Kreis wird als Umkreis des Dreiecks bezeichnet, und sein Mittelpunkt wird als Umkreismittelpunkt bezeichnet.

Erinnere dich, dass die Winkelsymmetrale einen Winkel genau in der Mitte teilt. Zeichne die Winkelsymmetrale aller drei Winkel dieses Dreiecks. Um einen Winkelhalbierenden zu zeichnen, musst du auf die drei Punkte klicken, die den Winkel bilden , den du halbieren möchtest.

Auch hier schneiden sich alle drei Linien in einem Punkt. Du hast so etwas wahrscheinlich erwartet, aber es ist wichtig zu beachten, dass es eigentlich keinen offensichtlichen Grund gibt, warum dies passieren sollte - außer dass Dreiecke eben sehr spezielle Figuren sind! Weiter

Punkte, die auf einer Winkelsymmetralen liegen, haben den gleichen Abstand zu den beiden Linien, die den Winkel bilden. Zum Beispiel hat jeder Punkt auf der blauen Symmetrale den gleichen Abstand von Seite a und Seite c, und jeder Punkt auf der roten Symmetrale hat den gleichen Abstand von den Seiten a und ba und cb und c.

Der Schnittpunkt liegt auf allen drei Symmetralen. Daher muss er den gleichen Abstand von allen drei SeitenEckpunkten des Dreiecks haben.

Das bedeutet, dass wir einen Kreis um ihn herum zeichnen können, der innerhalb des Dreiecks liegt und seine drei Seiten nur in jeweils einem Punkt berührt. Dieser Kreis wird als Inkreis des Dreiecks bezeichnet, und sein Mittelpunkt als Inkreismittelpunkt.

Die Berechnung der Fläche eines Rechtecks ist einfach: Man multipliziert einfach seine Breite mit seiner Höhe. Das Bestimmen der Fläche eines Dreiecks ist etwas weniger offensichtlich. Beginnen wir damit, ein “passgenaues” Rechteck um unser Dreieck zu zeichnen. Weiter

Die Länge des Rechtecks ist gleich der Länge der unteren Seite des Dreiecks (die als Grundseite (Basis) bezeichnet wird). Die Höhe des Rechtecks ist der senkrechte Abstand von der Basis zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Weiter

Die Höhe teilt das Dreieck in zwei Teile. Beachte, dass die zwei Lücken im Rechteck genau so groß sind wie die beiden entsprechenden Teile des Dreiecks. Das bedeutet, dass das Rechteck doppeltdreimalgenau so groß wie das Dreieck ist.

Wir können die Fläche des Rechtecks leicht herausbekommen, und die Fläche des Dreiecks muss dann also halb so groß sein:

A=12× Basis × Höhe

Wie die Seitenhalbierenden (Schwerlinien), Streckensymmetralen und Winkelsymmetralen schneiden sich auch die drei Höhen eines Dreiecks in einem einzigen Punkt. Dieser wird als Höhenschnittpunkt des Dreiecks bezeichnet.

Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Höhenschnittpunkt innerhalbaußerhalbauf einem Eckpunkt des Dreiecks.

Bei stumpfwinkligen Dreiecken, liegt der Höhenschnittpunkt außerhalbinnerhalbauf einem Eckpunkt des Dreiecks.

Bei rechtwinkligen Dreiecken ist der Höhenschnittpunkt ein Eckpunktinnerhalbaußerhalb des Dreiecks. Zwei der Höhen sind eigentlich nur Seiten des Dreiecks.