Sözlük

Select one of the keywords on the left…

Üçgenler ve TrigonometriÜçgende Eşlik

Tüm Adımları Göster

Şimdi herhangi üç kenarın bir üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol edebiliriz, bu kenarlarla tam olarak nasıl bir üçgen inşa edeceğimizi düşünelim.

Kenar uzunlukları 4cm, 5cm ve 6cm olan bir üçgen çizelim.

Yandaki kutuya, üçgenin 6cm uzunlukta olan en uzun kenarını çizin. Şimdiden üçgenin üç köşesinden iki tanesini biliyoruz – zor olan sonuncusunu bulmak.

Sonra, köşelerden birinin etrafına yarıçapı 4cm olan bir çember ve diğer köşenin etrafına da yarıçapı 5cm olan başka bir çember çizin.

Üçgenin üçüncü köşesi, bu iki çemberin kesişimidirmerkezidiryarıçapıdır. Şimdi onları bir üçgen oluşturmaları için birleştirebiliriz.

Çemberler aslında iki kezüç kezsonsuz sayıda kesişir: biri üstte, diğeri altta. Bu kesişimlerden herhangi birini seçebiliriz ve böylece birbirine eşit kenarlıdik iki üçgen elde ederiz.

Eşlik Şartları

Peki aynı uzunluktaki üç kenar ile farklı bir üçgen inşa etmemiz mümkün mü?

Yukarıda zaten iki üçgen inşa etmiştik, fakat ikisi de eş üçgenlerdi. Aslında, aynı üç kenar uzunluğuna sahip olan herhangi iki üçgen eştir. Bu KKK Eşlik Şartı olarak adlandırılır. (“Kenar-Kenar-Kenar”).

Artık üçgenlerin şu iki kuralı sağladığını biliyoruz: “AA” iki üçgenin benzerdönüşüm olduğunu ve “KKK” ise iki üçgenin benzereşit olduğunu ifade eder. İşte birkaç eşlik şartı:

İki üçgen eştir ancak ve ancak aşağıdaki koşullardan biri doğru ise:

KKK

Tüm kenarlar eştir.

KAK

İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı eştir.

AKA

İki açı ve bu kenarlara bitişik olan kenar eştir.

AAK

İki açı ve bu iki açının bitişiğinde olmayan bir kenar eştir.

Bu koşulları “kısayollar” olarak düşünebilirsiniz: iki üçgenin denk olup olmadığını kontrol etmek için sadece yukarıdaki koşullardan birini kontrol etmeniz gerekir.

İki üçgenin eş olduğunu bildiğiniz zaman , karşılık gelen tüm açıların ve kenarların eş olduğunu biliyor olacaksınız. Bu sıklıkla EÜKK, ya da “Eş üçgenlerde karşılıklı kısımlar eştir” şeklinde adlandırılır.

Tüm bu şartların farklı değer (ya kenarları ya da açıları) içerdiğine dikkat edelim!

Üçgenlerin İnşası

Bu bölümün başında, bir üçgenin, üç kenarını bildiğimizde, nasıl inşa edileceğini gördük. Benzer şekilde, yukarıdakieşlik şartlarının her biri için üçgen oluşturmanın çeşitli yolları vardır.

KAK

YAKINDA GELECEK – Animation

Aralarındaki açı 40° olacak şekilde 5cm ve 3cm uzunluğa sahip iki kenarı olan bir üçgen çizelim.

Önceki gibi, üçgenin kenarlarından birini çizerek başlıyoruz.

Sonra, köşelerden birinin etrafında 40°’lik bir açı belirlemek için açıölçer kullanın. Bu açıyı bir nokta ile işaretleyelim.

Üçgenin ikinci kenarını oluşturmak için köşeyi ölçümümüzle birleştirebiliriz.

Bu kenarın 3cm uzunluğunda olması gerektiğini biliyoruz, o halde bir cetvel yardımıyla bu mesafeyi ölçelim ve üçgenin üçüncü köşesini işaretleyelim.

Son olarak, üçgeni tamamlamak için son iki köşeyi birleştirebiliriz.

Tabii ki önce 3cm uzunluğundaki kenarı çizebilirdik veya 40°’lik açıyı diğer köşenin etrafında ölçebilirdik. Ancak her durumda, sonuçta elde edeceğimiz üçgen şimdikine eş olacaktı.

AKA

YAKINDA GELECEK – Animation

İki açısının ölçüsü 70° ve 50° ve bu açılara bitişik kenarının uzunluğu 5cm olan bir üçgen çizelim.

5cm’yi bir cetvel kullanarak ölçüp üçgenin ilk kenarını çizelim.

Şimdi bir köşenin etrafıda 70°’lik açı diğer köşenin etrafında ise 50°’lik açıyı ölçmek için açıölçer kullanalım. (Hangi yönde olduğu önemli değil – sonuçta elde edeceğimiz üçgenler eş olacak.)

Açıların köşelerle birleştirilmesi üçgeni tamamlar.

AAK

YAKINDA GELECEK – Animation

İki açısının ölçüsü 40° ve 50° ve bu açılara bitişik kenarın uzunluğu 5cm olan bir üçgen çizelim.

5cm’yi bir cetvel kullanarak ölçüp üçgenin ilk kenarını çizelim.

Yine bu kenarın bir köşesinden açıölçer yardımıyla 40°’lik bir açı ölçelim ve üçgenin ikinci kenarını çizelim. Fakat henüz çizeceğimiz bu kenarın nerede sonlanacağını bilmiyoruz.

Bunun yerine, bu kenarın etrafından herhangi bir nokta seçelim, bu nokta üçüncü köşeymiş gibi düşünelim ve 50°’lik bir açı ölçelim.

Gördüğünüz üzere, bu pek işe yaramıyor: üçüncü kenar henüz A köşesiyle bağlanmadı. Bunu düzeltmek için, onu kaydırmamız lazım: A’dan geçen paralel bir doğru çizelim. (Paralel doğruların nasıl inşa edildiğini önceki derste öğrenmiştiniz.)

Şimdi üstteki iki açı ters eş açılardır yani ölçüleri 50° olmalı. AAK üçgenimizi tamamlamak için yanlış olan ilk doğruyu silebiliriz.

KKA

KKA inşası biraz farklıdır. “KKA” şartının yukarıdaki eşlik şartları listesi arasında olmadığını farketmişsinizdir, yani iki üçgeni KKA ile kıyaslamak, üçgenlerin eş olduğunu söylemek için yeterli değildir. Bu size nedenini açıklayacak:

YAKINDA GELECEK – Animation

Kenar uzunlukları 4cm ve 5cm olan ve bunların arasında bulunmayan bir açının ölçüsünün 50° olduğu bir üçgen çizin.

Her zamanki gibi, 5cm uzunluğundaki kenarı çizerek başlayalım.

Sonra, bu kenarın köşerinden birinin etrafında 50°’lik bir açı ölçelim ve üçgenin ikinci kenarını çizelim.Fakat henüz çizeceğimiz bu kenarın nerede sonlanacağını bilmiyoruz.

Üçüncü kenarı 4cm uzunluğunda olmalı. Açıölçer kullanarak, ilk çizdiğimiz kenarın diğer köşenin etrafına yarıçapı 4cm olan bir çember çizebiliriz.

Üçgenin son köşesi ikinci kenar ve çemberin kesişimi sayesinde elde edilir. Ancak bu durumda, iki kesişim noktası var!

Bu iki üçgen açıkça eş değildir. Bu şu anlama gelir; kenar uzunlukları 4cm ve 5cm olan ve bunların arasında bulunmayan bir açının ölçüsünün 50° olduğu iki farklı üçgen vardır. KKA, iki üçgenin eş olduğunu belirlemek için yeterli değil.