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Dreiecke und TrigonometrieKongruenzsätze

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Nun, da wir überprüfen können, ob drei Seiten ein Dreieck bilden können, wollen wir darüber nachdenken, wie wir tatsächlich ein Dreieck mit diesen Seitenlängen konstruieren könnten.

Zeichne ein Dreieck, das Seiten mit den Längen 4cm, 5cm und 6cm hat.

Zeichne zuerst die längste Seite des Dreiecks mit 6cm in das Feld. Damit haben wir bereits zwei der drei Eckpunkte des Dreiecks - die Herausforderung besteht darin, den letzten zu finden

Zeichne als nächstes einen Kreis mit dem Radius 4cm um einen der Eckpunkte und einen Kreis mit dem Radius 5cm um den anderen.

Der dritte Eckpunkt des Dreiecks ist der SchnittpunktMittelpunktRadius der beiden Kreise. Jetzt können wir sie einfach zu einem Dreieck verbinden.

Die Kreise schneiden sich eigentlich zweimaldreimalunendlich oft: einmal oben und einmal unten. Wir können jeden dieser Schnittpunkte auswählen , und die beiden resultierenden Dreiecke sind kongruentgleichseitigrechtwinklig.

Kongruenzkriterien

Aber ist es überhaupt möglich, ein anderes Dreieck mit den gleichen drei Seiten zu konstruieren?

Wir haben oben bereits zwei Dreiecke gesehen, aber sie waren beide kongruent. Tatsächlich sind zwei beliebige Dreiecke, die die gleichen drei Seitenlängen haben, immer kongruent. Dies wird als SSS-Satz für Dreiecke (“Seiten-Seiten-Seiten-Satz”) bezeichnet.

Wir haben jetzt zwei Bedingungen für Dreiecke: “WW” bedeutet, dass zwei Dreiecke ähnlichkongruentAbbildungen sind , und “SSS” bedeutet, dass zwei Dreiecke kongruentähnlichgleich sind. Es gibt noch einige weitere Kongruenzsätze:

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

SSS

Alle Seiten sind kongruent.

SWS

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind kongruent.

WSW

Zwei Winkel und die anliegende Seite sind kongruent.

WWS

Zwei Winkel und eine der nicht anliegenden Seiten.

Du kannst dir diese Kriterien als “Abkürzungen” vorstellen: Um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke deckungsgleich sind, musst du nur eine der obigen Bedingungen überprüfen.

Sobald du weißt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, weißt du auch, dass alle ihre entsprechenden Seiten und Winkel deckungsgleich sind. Im englischsprachigen Raum wird das oft mit CPOCT bezeichnet, und bedeutet dass “einander entsprechende Teile von kongruenten Dreiecken” kongruent sind.

Es ist auch von Interesse, dass alle Sätze aus verschiedenen Werten (entweder Seiten oder Winkel) gebildet werden!

Dreieckskonstruktionen

Am Anfang dieses Abschnitts haben wir gesehen, wie man ein Dreieck konstruiert, wenn man alle drei seiner Seiten kennt. Ebenso ist es möglich, Dreiecke für jeden der genannten Kongruenzsätze zu konstruieren.

SWS

COMING SOON – Animation

Zeichne das Dreieck, das Seiten mit den Längen 5 cm und 3 cm und einen eingeschlossenen Winkel von 40° hat.

Wie zuvor beginnen wir damit, eine der Seiten des Dreiecks zu zeichnen.

Als nächstes messen wir mit einem Winkelmesser einen Winkel von 40° um einen der beiden Eckpunkte und markieren diesen Winkel mit einem Punkt.

Wir können den Eckpunkt mit unserer Messung verbinden, um die zweite Seite des Dreiecks zu konstruieren.

Wir wissen, dass diese Seite 3 cm lang sein muss, also messen wir diesen Abstand mit einem Lineal und markieren dann den dritten Eckpunkt des Dreiecks.

Schließlich können wir die letzten beiden Eckpunkte verbinden, um das Dreieck zu vervollständigen.

Natürlich hätten wir auch zuerst die 3 cm Seite zeichnen oder den anderen Eckpunkt wählen können, um den 40°-Winkel zu zeichnen. In all diesen Fällen wären die resultierenden Dreiecke jedoch kongruent zu diesem gewesen.

WSW

COMING SOON – Animation

Zeichne das Dreieck, das Winkel von 70° und 50° und eine anliegende Seite von 5 cm Länge hat.

Zeichnen wir zunächst die erste Seite und messen mit einem Lineal 5 cm ab.

Nun können wir mit einem Winkelmesser einen Winkel von 70° von einem der Endpunkte der Seite und einen Winkel von 50° vom anderen Endpunkt aus abmessen. (Auch der umgekehrte Weg ist möglich - die resultierenden Dreiecke werden kongruent sein.)

Das Verbinden der Winkelmarkierungen mit den Endpunkten vervollständigt das Dreieck.

WWS

COMING SOON – Animation

Zeichne das Dreieck, das Winkel von 40° und 50° und eine anliegende Seite von 5 cm Länge hat.

Auch hier beginnen wir mit der Konstruktion der ersten Seite des Dreiecks, die 5 cm lang ist.

Und wieder werden wir mit einem Winkelmesser einen Winkel von 40° um einen der Endpunkte abtragen und die zweite Seite des Dreiecks zeichnen. Allerdings wissen wir noch nicht, wo diese Seite enden wird.

Stattdessen wählen wir einen beliebigen Punkt um diese Linie herum, stellen uns vor, es sei der dritte Eckpunkt des Dreiecks und tragen einen Winkel von 50° ab.

Wie du sehen kannst, funktioniert das nicht ganz: Die dritte Seite lässt sich noch nicht mit dem Eckpunkt A verbinden. Um das zu beheben, müssen wir sie einfach verschieben: Wir zeichnen eine parallele Linie, die durch A verläuft. (Du hast bereits in einem früheren Kurs gelernt, wie man parallele Linien konstruiert.)

Nun sind die beiden Winkel an der Oberseite Wechselwinkel, weshalb sie kongruent und beide 50° sein müssen. Wir können die falsche, erste Linie löschen, um unser fertiges WWS-Dreieck zu erhalten.

SSW

Die SSW-Konstruktion ist etwas anders. Du hast vielleicht bemerkt, dass “SSW” nicht in der Liste der oben genannten Kongruenzsätze stand, da der Vergleich durch SSW allein nicht gewährleistet, dass zwei Dreiecke kongruent sind. Warum das so ist, siehst du hier:

KOMMT BALD – Animation

Zeichne das Dreieck, das Seiten von 4 cm und 5 cm und einen nicht eingeschlossenen Winkel von 50° hat.

Wie immer beginnen wir damit, die erste Seite des 5 cm langen Dreiecks zu zeichnen.

Als nächstes tragen wir einen Winkel von 50° an einem der Endpunkte ab und zeichnen die zweite Seite des Dreiecks. Allerdings wissen wir noch nicht, wo diese Seite enden wird.

Die dritte Seite muss eine Länge von 4 cm haben. Mit einem Zirkel können wir einen Kreis mit einem Radius von 4 cm um den anderen Endpunkt der ursprünglichen Seite zeichnen.

Der letzte Eckpunkt des Dreiecks wird durch den Schnittpunkt des Kreises und der zweiten Linie gebildet. In diesem Fall gibt es jedoch zwei Schnittpunkte!

Diese beiden Dreiecke sind eindeutig nicht kongruent. Das bedeutet, dass es zwei verschiedene Dreiecke gibt, die Seiten von 4 cm und 5 cm, sowie einen nicht eingeschlossenen Winkel von 50° haben. SSW ist also nicht ausreichend, um zu sicherzustellen, dass zwei Dreiecke kongruent sind.