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Dreiecke und TrigonometrieDie Dreiecksungleichung

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Nachdem wir viele der Eigenschaften und Komponenten von Dreiecken untersucht haben, wollen wir uns jetzt Gedanken darüber machen, wie Dreiecke aufgebaut sind. Wenn ich dir zB. jetzt drei Zahlen vorgebe, kannst du ein Dreieck zeichnen, das diese Seitenlängen hat?

Hier sind einige Beispiele - verschiebe die Ecken des Dreiecks, bis die drei Seitenlängen jeweils mit einer der drei Zahlenkombinationen auf der linken Seite übereinstimmen.

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Es scheint so zu sein, dass es einige Fälle gibt, in denen aus den drei Längen einfach kein Dreieck gebildet werden kann. Dies ist insbesondere der Fall, wenn eine Seite viel länger alsviel kürzer alsgleich lang wie die beiden anderen ist.

Stell dir die drei Seiten eines Dreiecks als Metallstangen vor, die mit Scharnieren verbunden sind, und platziere die längste Stange in der Mitte und die kürzeren an beiden Enden.

Jetzt ist leicht zu erkennen, dass es unmöglich ist, die Enden der kürzeren Stangen zusammen zu bringen, wenn ihre Gesamtlänge kleiner ist als die Länge der größeren Stange ist.

Wir wollen diese Beobachtung nun mathematisch formulieren:

Die Dreiecksungleichung
Die Summe der Längen von zwei beliebigen Seiten eines Dreiecks muss größer sein als die Länge der dritten.

Mit anderen Worten, wenn ein Dreieck die Seiten a, b und chat, dann wissen wir, dass a+b>c und a+c>b und b+c>a sein müssen.

Die Dreiecksungleichung ermöglicht es uns, schnell zu überprüfen, ob drei Zahlen ein Dreieck bilden können. Mit welchen dieser drei Zahlen geht es?

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Die Dreiecksungleichung erlaubt es uns auch, die Länge der dritten Seite eines Dreiecks zu schätzen, wenn wir die Länge der beiden anderen kennen.

Stellen dir vor, dass ein Dreieck zwei Seiten der Länge 4 und 6 hat. Wir wollen die Länge der dritten Seite c nennen. Dann wissen wir, dass

4+6>c, 4+c>6 und 6+c>4

Wir können diese Ungleichungen neu anordnen, und erhalten <c< . Die Länge der Seite c muss also zwischen 2 und 10 liegen

Stellen wir uns das wieder als eine Konstruktion aus Bauteilen vor: zwei Seiten des Dreiecks sind Metallstäbe der Länge 4 und 6, und die dritte Seite ist ein Gummiband , das sich dehnen oder zusammenziehen kann.

Jetzt sehen wir, dass das Gummiband immer länger als 64=2 und kürzer als 6+4=10 ist.

Beachte, dass es sich hierbei um strikte Ungleichheiten handelt. Wenn die dritte Seite genau 2 oder 10 ist, erhalten wir eine gerade Linie und kein Dreieck. Allerdings würden 2.1 oder 9.9 genügen, um ein Dreieck zu bilden.