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Dreiecke und TrigonometrieDer Satz des Pythagoras

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Wir sind nun an einem wichtigen Punkt in der Geometrie angelangt - wir sind in der Lage, einen der berühmtesten Lehrsätze der gesamten Mathematik zu formulieren und zu verstehen: Den Satz des Pythagoras. Er ist nach dem altgriechischen Mathematiker Pythagoras von Samos benannt.

Der Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse (die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt) gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten. Mit anderen Worten,

a2 + b2 = c2

Umgekehrt gilt auch: Wenn für die drei Seiten eines Dreiecks a2 + b2 = c2 gilt, dann muss es rechtwinkligspitzwinklig,stumpfwinklig sein.

Rechte Winkel sind überall, und deshalb ist der Satz des Pythagoras so nützlich.

Hier siehst du eine 6 m lange Leiter, die an eine Wand gelehnt ist. Das untere Ende der Leiter ist 1 m von der Wand entfernt. Wie weit reicht sie die Wand hinauf?

Beachte, dass ein rechtwinkliges Dreieck gebildet wird, das aus der Leiter, der Wand und dem Boden besteht. Mit dem Satz des Pythagoras können wir das so schreiben:

h2+12 =62
h2 =
h =35=5.92m

Immer wenn du ein rechtwinkliges Dreieck gegeben hast und zwei seiner Seiten kennst, kannst du mit dem Satz des Pythagoras die dritte bestimmen.

Beweise für den Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras war den alten Babyloniern, Mesopotamiern, Indern und Chinesen bekannt - aber Pythagoras war wohl der erste, der einen formalen, mathematischen Beweis fand.

Es gibt tatsächlich viele verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Hier zeigen wir drei verschiedene Beispiele, die jeweils eine andere Strategie verwenden:

Neuanordnung

Schau dir die Abbildung rechts an. Das Quadrat hat die Seitenlänge a + b, und enthält vier rechtwinklige Dreiecke, sowie ein kleineres Quadrat der Größe c2a - ba + b.

Nun ordnen wir die Dreiecke im Quadrat neu an. Das Ergebnis enthält noch immer die vier rechtwinkligen Dreiecke sowie zwei Quadrate der Größe a2 and b2c2a+b2.

Vergleicht man die Größe des roten Bereichs vor und nach der Umstellung, so sieht man, dass

a2+b2=c2.

Das ist genau der gleiche Beweis, den sich Pythagoras ausgedacht hat

Algebra

Hier haben wir die gleiche Skizze wie zuvor, aber diesmal verwenden wir Algebra anstatt einer Neuanordnung, um den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Das große Quadrat hat eine Seitenlänge von a+b und eine Fläche (a + b)2a2 + b2c2.

Es besteht aus vier Dreiecken, mit einer Fläche von jeweils 12ab(a × b)212(a + b), und ein Quadrat der Fläche c2(a + b)2a × b.

Wenn wir alle diese Informationen zusammenführen, bekommen wir folgende Gleichung:

a+b2 =4×12ab+c2
a2+2ab+b2 =2ab+c2
a2+b2 =c2

Und wieder erhalten wir den Satz des Pythagoras.

Ähnliche Dreiecke

Hier haben wir irgendein rechtwinkliges Dreieck. Wenn wir eine der Höhen einzeichnen, teilt sie das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke auf, und sie teilt die Hypotenuse c in zwei kleinere Teile , die wir x und y nennen wollen. Weiter

Sehen wir uns die beiden kleineren Dreiecke getrennt an, damit klarer wird, wie sie zusammenhängen… Weiter

Beide kleineren Dreiecke teilen sich einen Winkel mit dem ursprünglichen Dreieck. Beide haben auch einen rechten Winkel. Es gilt der WWW-Satz, dh alle drei Dreiecke sind ähnlichkongruentrechtwinklig.

Jetzt können wir die Gleichungen verwenden, die wir bereits über ähnliche Vielecke kennen:

xa=ac

x=a2c

yb=bc

y=b2c

Weiter

Aber erinnere dich, dass c = x + y. Wir setzen ein und erhalten

c=a2c+b2c

c2=a2+b2

Und damit haben wir ein weiteres mal den Satz des Pythagoras bewiesen!

Vieles über Pythagoras' Leben ist unbekannt, und es sind keine Originalschriften seines Werkes erhalten geblieben. Er gründete einen religiösen Kult, die Pythagoräer, der eine Art “Zahlenverehrung” praktizierte. Sie glaubten, dass alle Zahlen ihren eigenen Charakter haben, und folgten einer Vielzahl anderer bizarrer Bräuche.

Den Pythagoräern werden viele mathematische Entdeckungen zugeschrieben, darunter das Auffinden der ersten irrationalen Zahl, 2. Irrationale Zahlen können nicht als einfacher Bruch ausgedrückt werden - ein Konzept, das die Pythagoräer zutiefst beunruhigend fanden und (erfolglos) zu vertuschen versuchten!

“Pythagoräer feiern den Sonnenaufgang” von Fjodor Bronnikow

Abstände berechnen

Eine der wichtigsten Anwendungen des Satzes des Pythagoras ist die Berechnung von Abständen.

Auf der rechten Seite siehst du zwei Punkte in einem Koordinatensystem. Wir könnten ihren Abstand mit einem Lineal messen, aber das ist nicht besonders genau, stattdessen versuchen wir es mit Pythagoras. Weiter

Wir können leicht den horizontalen Abstand entlang der x-Achse und den vertikalen Abstand entlang der y-Achse abzählen. Wenn wir diese beiden Linien einzeichnen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck.

Mit Pythagoras,

d2 =${b.x-a.x}2+${a.y-b.y}2
d2 =${(b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y)}
d =${(b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y)}=${round(Math.sqrt((b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y)),4)}

Diese Methode funktioniert für zwei beliebige Punkte:

Die Abstandsformel
Wenn du zwei Punkte mit den Koordinaten (x1,y1) und (x2,y2) gegeben hast, beträgt der Abstand zwischen ihnen

d2=x2x12+y2y12

d=x2x12+y2y12

Pythagoräische Tripel

Als du die Ecken des Dreiecks im vorherigen Schritt verschoben hast, hast du vielleicht bemerkt, dass die Länge der Hypothenuse d in den meisten Fällen eine DezimalzahlBruchzahlganze Zahl ist. aber es gibt einige Beispiele für rechtwinklige Dreiecke, bei denen die Länge von allen drei Seiten zufällig natürliche Zahlen sind.

Ein berühmtes Beispiel ist das 3-4-5 Dreieck. Da 32+42=52, muss jedes Dreieck mit Seiten der Länge 3, 4 und 5 rechtwinklig sein.

Die alten Ägypter wussten nichts über den Satz von Pythagoras, aber sie wussten etwas über das 3-4-5 Dreieck. Beim Bau der Pyramiden verwendeten sie geknotete Seile der Längen 3, 4 und 5, um perfekte rechte Winkel zu messen.

Drei Zahlen wie diese werden als Pythagoräische Tripel bezeichnet. (3, 4, 5) ist ein Beispiel für ein Pythagoräisches Tripel. Wenn wir jede Zahl mit 2 multiplizieren, erhalten wir ein weiteres Pythagoräisches Tripel: (6, 8, ).

Wir können uns diese Tripel als Gitterpunkte in einem Koordinatensystem vorstellen. Für ein gültiges Pythagoräisches Tripel muss der Abstand vom Ursprung bis zum Gitterpunkt eine ganze Zahl sein. Kannst du mit dem untenstehenden Koordinatensystem weitere Pythagoräische Tripel finden?

${a.x}
${17-a.y}
${sqrtDistance(a)}

Erkennst du ein Muster in der Verteilung dieser Punkte?