Sözlük

Select one of the keywords on the left…

Dönüşümler ve SimetriDuvarkağıdı Grupları

Tüm Adımları Göster

Önceki bölümlerde iki çeşit simetriyi ele aldık, bunlar iki farklı dönüşüme karşılık geliyordu: Döndürme ve yansıtma. Ancak üçüncü bir simetri türü daha var, bu da üçüncü çeşit bir dönüşüme karşılık gelir: ötelemespintakla.

Öteleme simetrisi çiçekler, kelebekler gibi tek başına ele alınan nesnelerde ortaya çıkmaz, ama her yöne devam eden düzenli örüntülerde ortaya çıkar:

Altıgen bal peteği

Seramik duvar kaplaması

Yansıtma, döndürme ve öteleme simetrilerinin dışında dördüncü bir simetri çeşidi bile vardır:: kaydırıp yansıtma. Bu aslında yansıtma ve yansıtma doğrusu ile aynı yönde bir kaydırmanın birleşiminden oluşur.

Bir örüntü birden fazla simetri çeşidine sahip olabilir. Ve aynen kare için yaptığımız gibi, bir örüntünün de simetri grubununu bulabiliriz. Bu grup örüntünün bütün simetrilerini içerir.

Böyle gruplar bir örüntünün nasıl göründüğü(örneğin renkleri ve şekilleri) hakkında pek bir şey söylemez, sadece nasıl tekrar ettiğini söyler. Birden çok örüntü aynı simetri grubuna sahip olabilir, yalnızca aynı şekilde dizilip tekrar etmeleri yeterlidir.

Simetriler renklerle ya da yüzeysel şekillerle ilgili değildir. Farklı görüntülerine rağmen bu iki örüntü aynı simetrilere sahiptir.

Bu iki örüntü, birbirlerinden çok soldaki örüntülere benzemelerine rağmen, aslında aynı simetrilere sahiptirler.

Sonsuz farklı örüntü düşünebilmemize rağmen, aslında toplamda sadece 17 tane simetri grubu olduğu keşfedildi. Bunlara Duvarkağıdı Grupları diyoruz. Her duvarkağıdı grubu öteleme, döndürme, yansıtma ve kaydırarak yansıtmaların bir kombinasyonu ile tanımlanır. Bu örneklerdeki döndürme merkezlerini ve yansıtma eksenlerini görebiliyor musunuz?

P1 tipi
Sadece ötelemeler

P2 tipi
2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

P3 tipi
2 dereceli(180°) dört döndürme, ötelemeler

P4 tipi
3 dereceli(120°) döndürmeler, ötelemeler

P6 tipi
2, 3 ve 6(60°) dereceli döndürmeler, ötelemeler

PM tipi
Paralel yansıtma eksenleri, ötelemeler

PMM tipi
Dik yansımalar, 2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

P4M tipi
(2 + 4 dereceli) Döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

P6M tipi
(2 + 6 dereceli) Döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

P3M1 tipi
3 dereceli döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

P31M tipi
3 dereceli döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

P4G tipi
(2 + 4 dereceli) Döndürmeler, yansımalar, kaydırıp yansımalar, ötelemeler

CMM tipi
Dik yansıtmalar, 2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

PMG tipi
Yansımalar, kaydırıp yansıtmalar, 2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

PG tipi
Paralel kaydırıp yansıtmalar, ötelemeler

CM tipi
Yansımalar, kaydırıp yansıtmalar, ötelemeler

PGG tipi
Dik kaydırıp yansıtmalar, 2 dereceli döndürmeler, ötelemeler

Maalesef bu gruplardan neden 17 tane olduğunun basit bir açıklaması yok. Bunun kanıtlanması da çok daha ileri seviyede matematik gerektiriyor...

Onun yerine, 17 duvarkağıdı grubuna karşılık gelen kendi örüntülerinizi çizmeyi deneyebilirsiniz.

Examples of other students’ drawings

Duvarkağıdı grupları düzlemsel, iki boyutlu örüntüler ile ilgiliydi. Üç boyut için de benzer bir şey yapabiliriz: böyle gruplara kristal grupları denir, ve 219 tane kristal grubu var!

Kristal grupları öteleme, yansıtma, döndürme ve kaydırıp yansıtmaya ek olarak kaydırma düzlemleri ve burgu eksenleri(şişe kapağını açarkenki hareketinizi düşünün) gibi simetriler de içerirler.

Boron-Nitrat molekülleri kristal kafes şeklinde dizilmiştir ve kendisi 3 boyutlu simetri grubuna sahiptir.