Sözlük

Select one of the keywords on the left…

Dönüşümler ve SimetriDönüşümler

Tüm Adımları Göster

Dönüşüm geometrik figürü başka bir geometrik figüre çeviren özel bir kurallar kümesidir. İşte bir kaç örnek:

Dönüşümün sonucunda elde edilen sonuç görüntü olarak adlandırılır. A figürünün görüntüsü genelde A ( “A üssü” diye okunur) şeklinde gösterilir.

Başlangıç olarak sadece orijinal figürün şeklini ve ölçüsünü değiştirmeyen dönüşümlerden bahsedeceğiz. Tahta veya metal gibi katı bir maddeden yapılan bir nesne hayal edin: hareket ettirebiliriz, döndürüp çevirebiliriz ama esnetemeyiz veya deforme edemeyiz. Bu dönüşümler katı dönüşümler olarak adlandırılır.

Dönüşümlerden hangisi katı dönüşümdür ?

Katı dönüşümlerde görüntü her zaman orijinaline denktirorijinali ile aynıdırorijinalin tersidir. Üç çeşit katı dönüşüm vardır:

Şekli basitçe hareket ettiren dönüşüm öteleme olarak adlandırılır.

Şekli çeviren dönüşüm yansıma olarak adlandırılır.

Şekli belirli bir nokta etrafında döndüren dönüşüm döndürme olarak adlandırılır.

Daha karmaşık olanlarını elde etmek için dönüşümlerin birkaç çeşidini art arda uygulayabiliriz – örneğin, döndürmeyi takiben öteleme hareketi.

Ama önce her bir dönüşüm çeşidine daha detaylı bakalım.

Ötelemeler

Öteleme figürdeki her noktayı aynı uzaklıkta aynı yöne doğru hareket ettiren dönüşümdür.

Ötelemeyi, şeklin koordinat düzleminde x-doğrusu ve y-doğrusu boyunca ne kadar hareket ettiğine bakarak belirtebiliriz. Örneğin, (3, 5) dönüşümü şekli x-doğrusu boyunca 3 ve y-doğrusu boyunca 5 birim hareket ettirir.

(, ) ile ötelendi

(, ) ile ötelendi

(, ) ile ötelendi.

Şimdi sıra sizde – şekilleri belirtildiği şekilde öteleyin:

(3, 1) ile öteleyin

(–4 –2) ile öteleyin

(5, –1) ile öteleyin

Yansımalar

Yansıma bir şekli bir doğru boyunca “çeviren” veya “ayna tutan” bir dönüşümdür. Bu doğruya yansıma doğrusu denir.

Her bir örnekteki yansıma doğrularını çizin:

Şimdi sıra sizde – her şeklin yansımasını çizin:

Eğer bir nokta yansıma doğrusu üzerinde bulunuyorsa, görüntüsünün orijinali ile aynıorijinalinden küçükorijinalinin tersi olduğunu fark edelim.

Yukarıdaki örneklerin hepsinde, yansıma doğrusu yatay, dik veya 45°’lik açıya sahipti – ki bunlar yansımaların çizimini kolaylaştırdı. Böyle olmadığı durumda görüntünün inşası için biraz daha fazla uğraşmak gerekiyor.

Bu şekli yansıma doğrusunun karşısına yansıtmak için, her köşeyi tek tek yansıtmamız ve sonra tekrar birleştirmemiz gerekiyor.

Köşelerden birini seçelim ve bu köşeye doğru yansıma doğrusuna dik bir doğru çizelim.

Şimdi köşeden yansıma doğrusuna olan uzaklığı ölçebiliriz ve diğer tarafta aynı uzaklığa sahip bir nokta oluşturabiliriz. (Bunu yapmak için cetvel ya da pergel kullanabiliriz.)

Şekildeki diğer köşeler için de aynısını yapabiliriz.

Şimdi yansıtılan köşeleri doğru sırayla bağlamamız gerek ve böylece yansımayı bulmuş oluyoruz!

Döndürmeler

Döndürme şekli belirli bir açı ile sabit bir nokta etrafında “döndüren” dönüşümdür. Bu noktaya döndürme merkezi denir. Döndürmeler saat yönünde veya saat yönünün tersinde olabilir.

Aşağıdaki şekilleri kırmızı renkteki döndürme merkezi etrafında döndürmeyi deneyiniz:

Saat yönünde 90° döndürün.

180° döndürün.

Saat yönünün tersinde 90° döndürün.

90° veya 180° olmayan döndürmeleri çizmek daha zordur. Şimdi bu şekli ${10*ang}° ile döndürme merkezi etrafında döndürmeyi deneyelim.

Yansımalarda olduğu gibi, şekildeki her noktayı tek tek döndürmeliyiz.

Bir köşeyi seçerek başlıyoruz ve döndürme merkezine bir doğru çiziyoruz.

Açıölçer kullanarak, döndürme merkezi etrafında ${ang*10}°’lik açı ölçebiliriz. Şimdi bu açıdaki ikinci doğruyu çizelim.

Pergel veya cetvel kullanarak,orijinal nokta gibi döndürme merkezine aynı uzaklıkta bulunan bir nokta bulabiliriz.

Şimdi şekildeki her köşe için bu adımları tekrar etmeliyiz.

Son olarak, önceki gibi, orijinal şeklin döndürülen görüntüsünü elde etmek için her köşeyi birbirine bağlayabiliriz.

Dönüşümler sadece geometride değil matematiğin bir çok alanında önemli olan kavramlardır. Örneğin, fonksiyonları kaydırarak veya grafiklerini döndürerek dönüştürebilirsiniz. Diğer dönüşümlerin görsel bir temsilleri bile yoktur. Gelecek derslerde bunun hakkında daha çok öğreneceksiniz, ama şimdilik simetriye geçelim.