Sözlük

Select one of the keywords on the left…

Dönüşümler ve SimetriSimetri Grupları

Tüm Adımları Göster

Bazı şekiller birden fazla simetriye sahiptir – basit bir örnek olarak kareye bir göz atalım.

Yukarıda karenin yansıma doğrusu olduğunu gösterdiniz.

Ayrıca °, ° ve °‘lik döndürme simetrisine de sahiptir.

Ve son olarak, “hiçbir şey yapmamayı” başka bir özel simetri çeşidi olarak düşünebiliriz – çünkü sonuç, öncekiyle (açıkça) aynı olacak. Bu bazen etkisiz eleman olarak adlandırılır.

Toplamda, farklı “kare simetrisi” bulduk.

Şimdi bu simetrilerle biraz aritmetik yapmaya başlayabiliriz. Örneğin, yeni bir simetri elde etmek için iki simetriyi toplayabiliriz.

+=
+=

Karenin iki simetrisini topladığınız zaman yeni bir tanesine ulaşırsınız. İşte kendiniz deneyebilmeniz için “simetri hesap makinesi”:

+
=
×
+
+
+
+
+
+
+
+

Simetri hesap makinesiyle biraz zaman harcayın ve her bir yönlendirmeyi bulmayı deneyin. Bu gözlemleri tamamlayabilir misiniz?

  • İki döndürmeyi topladığınızda daima bir döndürmebir yansıma (veya etkisiz eleman).
  • İki yansımayı topladığınızda daima bir döndürmebir yansıma (veya etkisiz eleman).
  • Aynı iki simetriyi ters sırayla topladığınızda bazen farklı bir sonuçdaima farklı bir sonuçdaima aynı sonucu verir.
  • Etkisiz elemanını eklemek hiçbir şeyi değiştirmezbir yansıma verirtersini verir.

Daha önce simetrileri toplamanın aslında tam sayıları toplamaya benzediğini fark etmiş olabilirsiniz:

  1. simetrileri/tam sayıları toplamak daima başka bir simetri/tam sayı verir:
    +=
    12+7=19
    Devam
  2. simetrileri/tam sayıları toplama işlemi birleşme özelliğine sahiptir:
    ++=++
    4+2+5=4+2+5
    Devam
  3. Her simetrinin/tam sayının , simetri/tam sayı olan bir tersi vardır ve toplandıklarında etkisiz elemanı verir:
    +=
    4+–4=0
    Devam

Matematikte, bu özelliklere sahip her koleksiyon grup olarak adlandırılır. Bazı gruplar (karenin simetrileri gibi) sadece sonlu sayıda elemana sahiptir. Diğerleri (tam sayılar gibi) sonsuz elemana sahiptir.

Bu örnekte, karenin sekiz simetrisiyle başladık. Aslında, her geometrik şekil kendi simetri grubuna sahiptir. Hepsinin farklı elemanları vardır fakat daima yukarıdaki üç kuralı sağlarlar.

Gruplar matematikte her zaman karşımıza çıkar. Elemanlar sayılar ya da simetriler olabilir, veya polinomlar, permütasyonlar, matrisler, fonksiyonlar… üç kuralı sağlayan herhangi bir şey olabilir. Grup Teori’nin kilit noktası tek tek elemanlarla değil elemanların birbirlerini nasıl etkiledikleriyle ilgilenmektir.

Örneğin, farklı moleküllerin simetri grubu bilim insanlarına ilgili materyallerin özelliklerini tahmin etme ve açıklama konusunda yardımcı olabilir.

Gruplar tahta oyunlarını kazanma stratejisinin, virüslerin davranışlarının, müzikteki farklı harmonilerin analizinde ve başka birçok alanda da kullanılır...

CCl4 molekülünün özellikleri (solda) ve Adenovirüs (sağda) simetrileriyle belirlenmiştir.