詞彙表

Select one of the keywords on the left…

序列和模式形数

揭示所有步驟

几何序列的名称非常令人困惑,因为它们与几何没有任 何关系。事实上,这个名字是在几百年前发明的,当时数学家们以更为几何的方式思 考_乘法平方根_。

然而,还有许多其他的序列基于特定的几何图形的,其中一些已经在简介中看到。 这些序列通常被称为形数,在本节中,我们将更详细 地了解其中的一些序列。

三角形数

三角形数是通过创建逐渐增大的三角形而生成的:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

经看到了三角形数的递归公式: xn= xn1+nn212×xn11.

保龄球总是有10个球,台球总是有15个球,这不是巧合:它们都是三角形的数字!

不幸的是,如果我们不首先计算前面所有的三角形数,就想找到第100个或第5000个三 角形数,递归公式并不是很有用。但是,就像我们之前对算术序列和几何序列所做的那 样,我们可以尝试找到一个三角形数的显式公式。

敬请期待: 三角形数公式的动画证明

三角形数似乎在数学中随处可见,在这门课程中你会再次看到它们。一个特别有趣的事实是, _任意_整数都可以写成最多三个三角形数的和:

${n}

=

+

+

对_所有_整数都有效的这个事实是由德国数学家 卡尔·弗里德里希·高斯于1796年证明,那年高斯19岁!

问题求解

前100个正整数的和是多少?换句话说,下面式子的结果值是多少:

1+2+3+4+5++97+98+99+100?

你能不用手工一个个加起来, 而用三角形数辅助来求结果吗? 算算前1000个正整数的和怎么样?

平方数和多边形数

另一个基于几何形状的序列是平方数

1, 4+3, 9+5, 16+7, +9, +11, +13, +15, …

这个序列是通过对每个整数进行平方而得到的(12, 22, 32, …), 但事实显示 还有另一种模式:相邻的平方数之间的差是以奇数三角形数整数递增。

如果我们真的画一个正方形,这个模式的原因就显而易见了。每一步都添加一行和一列。 这些“拐角”的大小从1开始,每一步增加2,从而形成奇数序列。

这也意味着n的平方数只是前n个奇数的和!例如,前6个奇数的和是

1+3+5+7+9+11= .

1 3 5 7 9 11 13

此外,每个平方数也是两个相邻三角形数的和。例如, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}。你能看出来我们如何沿着对角线 把每一个正方形分成两个三角形吗?

x=

在研究三角形和方形数字之后,我们可以继续研究更大的多边形。产 生的数字序列称为多边形数字

例如,如果我们使用边为${k}的多边形,我们将得到${polygonName(k)}序列。

你能找到具有k条边的第n个多边形数的递归公式和显式公式吗?你有没有注意到多边 形其他有趣的模式?

四面体和立方数

当然,我们也不必局限于二维的形状和模式。我们可以把球体堆成小金字塔,就像你在 超市堆橙子一样:

1

20

35

数学家通常称这些金字塔为四面体,并将由此产生的序列 称为四面体数

敬请期待: 关于四面体数,立方数和圣诞节的12天的更多内容。