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Vielecke und PolyederVierecke

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Im vorherigen Kurs haben wir viele verschiedene Eigenschaften von Dreiecken untersucht. Wir wollen jetzt die Vierecke genauer betrachten.

Ein regelmäßiges Viereck wird als QuadratRechteckgleichseitiges Viereck bezeichnet. Alle seine Seiten haben die gleiche Länge, und alle seine Winkel sind gleich.

Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleichen Seiten und vier gleichen Winkeln.

Für etwas "weniger regelmäßige" Vierecke haben wir zwei Möglichkeiten. Wenn wir nur wollen , dass die Winkel gleich sind, erhalten wir ein Rechteck. Wenn wir nur wollen, dass die Seiten gleich sind, bekommen wir eine Raute.

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier gleichen Winkeln.

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleichen Seiten.

Es gibt noch ein paar andere Vierecke, die noch etwas weniger regelmäßig sind, aber dennoch bestimmte wichtige Eigenschaften haben :

Wenn beide Paare der gegenüberliegenden Seiten parallel sind, erhalten wir ein Parallelogramm.

Wenn zwei Paare benachbarter Seiten die gleiche Länge haben, bekommen wir ein Deltoid.

Wenn nur ein Paar der gegenüberliegenden Seiten parallel ist, erhalten wir ein Trapez.

Vierecke können in mehrere dieser Kategorien fallen. Wir können die Hierarchie der verschiedenen Arten von Vierecken in einem Venn-Diagramm darstellen:

Zum Beispiel ist jedes Rechteck auch ein Parallelogrammeine Rauteein Quadrat, und jede Rautejedes Trapezjedes Parallelogramm ist auch ein Deltoid. Eine Raute ist manchmalimmernie ein Quadrat und ein Rechteck ist immermanchmalnie ein Trapez.

Um Unklarheiten zu vermeiden, verwenden wir in der Regel nur den spezifischsten Typ.

Wähle nun vier Punkte, irgendwo im grauen Feld links. Wir können sie alle zu einem Viereck verbinden.

Wir wollen jetzt den Mittelpunkt jeder der vier Seiten bestimmen. Wenn wir die Mittelpunkte verbinden, erhalten wir ein weiteres ViereckDreieckRechteck.

Versuche, die Ecken des äußeren Vierecks zu verschieben und beobachte dabei, was mit dem kleineren passiert. Es sieht so aus, als wäre es nicht irgendein Viereck, sondern immer ein ParallelogrammTrapezRechteck!

Aber warum ist das so? Warum sollte das Ergebnis für jedes Viereck immer ein Parallelogramm sein? Um eine Erklärung dafür zu finden, müssen wir eine der Diagonalen des ursprünglichen Vierecks einzeichnen.

Die Diagonale teilt das Viereck in zwei Dreiecke auf. Wie du jetzt erkennen kannst sind zwei der Seiten des inneren Vierecks eigentlich MittelparallelenSchwerlinienStreckensymmetralen dieser Dreiecke.

Im vorherigen Kurs haben wir gezeigt , dass die Mittelparallelen eines Dreiecks immer parallel zu seiner Basis sind. In diesem Fall bedeutet das, dass beide Seiten parallel zur Diagonale sind - daher müssen sie auch parallel zueinandergleich langzueinander senkrecht sein.

Genauso können wir mit der zweiten Diagonale des Vierecks verfahren, um zu zeigen, dass beide Paare von gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Und das ist alles was wir für den Beweis, dass das innere Viereck ein Parallelogramm ist, benötigen.

Parallelogramme

Es stellt sich heraus, dass Parallelogramme viele andere interessante Eigenschaften haben, außer dass die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Welche der folgenden sechs Aussagen sind wahr?

Die gegenüberliegenden Seiten sind kongruent.
Die Innenwinkel sind immer kleiner als 90°.
Die Diagonalen teilen die Innenwinkel in der Mitte.
Die gegenüberliegenden Winkel sind kongruent.
Beide Diagonalen sind kongruent.
Angrenzende Seiten haben die gleiche Länge
Die beiden Diagonalen teilen sich in der Mitte.

Natürlich reicht es nicht aus, diese Eigenschaften nur zu "beobachten". Um sicher zu sein, dass sie immer wahr sind, müssen wir sie beweisen:

Gegenüberliegende Seiten und Winkel

Versuchen wir also zu beweisen, dass die gegenüberliegenden Seiten und Winkel in einem Parallelogramm immer deckungsgleich sind.

Zeichne zunächst eine der Diagonalen des Parallelogramms.

Die Diagonale erzeugt vier neue Winkel mit den Seiten des Parallelogramms. Die beiden roten Winkel und die beiden blauen Winkel sind Wechselwinkel, so dass sie jeweils kongruentbenachbartsupplementät sein müssen.

Wenn wir uns nun die beiden durch die Diagonale erzeugten Dreiecke ansehen, sehen wir, dass sie zwei kongruente Winkel und eine kongruente Seite haben. Nach dem WSWWWSWWW Kongruenzsatz müssen beide Dreiecke kongruent sein.

Das bedeutet, dass auch die anderen entsprechenden Teile der Dreiecke kongruent sein müssen: Insbesondere sind beide Paare von gegenüberliegenden Seiten und beide Paare von gegenüberliegenden Winkeln kongruent.

Es stellt sich heraus, dass das auch umgekehrt wahr ist: Wenn beide Paare von gegenüberliegenden Seiten (oder Winkeln) in einem Viereck deckungsgleich sind, dann muss das Viereck ein Parallelogramm sein.

Diagonalen

Beweise jetzt, dass sich die beiden Diagonalen in einem Parallelogramm gegenseitig halbieren.

Überlegungen zu den beiden gelben Dreiecken, die durch die Diagonalen erzeugt werden:

  • Wir haben gerade erst bewiesen, dass die beiden grünen Seiten kongruent sind, da sie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind.
  • Die beiden roten und zwei blauen Winkel sind kongruent, da es sich um Wechselwinkelgegenüberliegende Winkelrechte Winkel handelt.

Nach dem WSWSSSWWS-Satz müssen daher auch die beiden gelben Dreiecke kongruent sein.

Nun können wir die Tatsache nutzen, dass die einander entsprechenden Teile kongruenter Dreiecke auch kongruent sind, um zu dem Schluss zu kommen, dass AM = CM and BM = DM. Mit anderen Worten, die beiden Diagonalen schneiden sich an ihren Mittelpunkten.

Wie zuvor ist auch hier der Umkehrschluss richtig: Wenn sich die beiden Diagonalen eines Vierecks gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

Deltoide (Drachenviereck)

Wir haben oben gezeigt, dass die beiden Paare der gegenüberliegendenbenachbarten Seiten eines Parallelogramms kongruent sind. In einem Deltoid sind zwei Paare benachbarter Seiten kongruent.

Der Name Drachenviereck geht eindeutig auf seine Form zurück: Ein Deltoid sieht aus wie die Drachen, die man am Himmel fliegen lassen kann. Von allen speziellen Vierecken, die wir bisher gesehen haben, ist das Deltoid jedoch das einzige, das auch konkav sein kann: wenn es wie ein Pfeil geformt ist:

Ein konvexes Deltoid

Ein konkaves Deltoid, das wie ein Pfeil aussieht

Du hast vielleicht bemerkt, dass alle Deltoide symmetrischähnlich sind. Die Symmetrieachse ist eine der Diagonaleneine der Seiteneine Mittelparallele.

Die Diagonale teilt das Deltoid in zwei kongruente Dreiecke auf. Wir wissen aufgrund des SSS-Satzes dass sie kongruent sind: Beide Dreiecke haben drei kongruente Seiten (rot, grün und blau).

Unser "CPOCT-Wissen" sagt uns, dass auch die entsprechenden Winkel kongruent sein müssen.

Das bedeutet z.B., dass die Diagonale eine WinkelsymmetraleNormaleSchwerlinie der beiden Winkel an ihren Enden ist.

Wir können noch weiter gehen: Wenn wir die andere Diagonale zeichnen, erhalten wir zwei weitere, kleinere Dreiecke. Diese müssen aufgrund des SWS-Satzes auch kongruent sein: Sie haben die gleichen zwei Seiten und eingeschlossenen Winkel.

Das bedeutet, dass der Winkel α auch derselbe sein muss wie der Winkel β. Da sie nebeneinander liegen, und supplementär sind müssen sowohl α als auch β ° groß sein.

Mit anderen Worten, die Diagonalen eines Drachens sind immer SenkrechtenParallelen.

Fläche von Vierecken

Bei der Berechnung der Fläche von Dreiecken im vorherigen Kurs haben wir den Trick benutzt, sie in ein RechteckQuadratFünfeck zu verwandeln. Es stellt sich heraus, dass wir das auch für einige Vierecke tun können:

Parallelogramm

Versuche auf der linken Seite, ein Rechteck zu zeichnen, das die gleiche Fläche wie das Parallelogramm hat.

Kannst du sehen, dass das fehlende Dreieck auf der linken Seite genau gleich groß wiekleiner alsgrößer als das überlappende Dreieck auf der rechten Seite ist? Daher ist die Fläche eines Parallelogramms

Fläche = Grundseite × Höhe

Seie vorsichtig bei der Messung der Höhe eines Parallelogramms: Es ist in der Regel nicht gleich lang wie eine der beiden Seiten.

Trapez

Erinnere dich daran, dass Trapeze Vierecke mit einem Paar paralleler Seiten sind. Diese parallelen Seiten werden als Grundseiten des Trapezes bezeichnet.

Versuche wie zuvor auf der linken Seite, ein Rechteck zu zeichnen, das die gleiche Fläche wie das Trapez hat. Kannst du sehen, wie sich die fehlenden und hinzugefügten Dreiecke links und rechts aufheben?

Die Höhe dieses Rechtecks entspricht dem Abstandder mittleren Längeder Länge der parallelen Seiten des Trapezes.

Die Breite des Rechtecks ist der Abstand zwischen den MittelpunktenEndpunkten der beiden nicht parallelen Seiten des Trapezes. Dieser wird als die Mittelparallele des Trapezes bezeichnet.

Wie bei Dreiecken ist die Mittelparallele eines Trapezes parallel zusenkrecht aufgleich lang wie seine beiden Grundseiten. Die Länge der Mittelparallelen ist der Durchschnitt der Längen der Grundseiten: a+c2.

Wenn wir all das zusammenfügen, erhalten wir eine Gleichung für die Fläche eines Trapezes mit den parallelen Seiten a und c, und der Höhe h:

A=h×a+c2

Deltoid

Bei diesem Deltoid](target:diag3) bilden die [beiden Diagonalen die Breite und Höhe eines großen Rechtecks, das das Deltoid umgibt.

Die Fläche dieses Rechtecks ist doppelt sogleichdreimal so groß wie die Fläche des Deltoids. Kannst du sehen, wie jedes der vier Dreiecke, aus denen das Deltoid besteht, mit den vier Lücken außerhalb des Deltoids identisch ist?

Das bedeutet, dass die Fläche eines Deltoids mit den Diagonalen d1 und d2 sich folgendermaßen berechnen lässt:

Fläche = 12 d1 × d2.

Raute

Eine Raute ist ein Viereck mit vier kongruenten Seiten. Du weißt vielleicht noch, dass jede Raute ein ParallelogrammRechteckQuadrat ist - ebenso wie ein DeltoidSechseckkonkaves Vieleck.

Das bedeutet, dass wir zur Bestimmung der Fläche einer Raute entweder die Gleichung für die Fläche eines Parallelogramms oder die Gleichung für die Fläche eines Deltoids verwenden können:

Fläche = Grundseite × Höhe = 12 d1 × d2.

Je nachdem werden also verschiedene Teile einer Raute (Seiten, Höhe, Diagonalen) gegeben sein, und solltest dann die Formel wählen, die am besten geeignet ist.