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Vielecke und PolyederPlatonische Körper

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Zu Beginn dieses Kurses haben wir regelmäßige Vielecke als besonders "symmetrische" Vielecke definiert, bei denen alle Seiten und Winkel gleich sind. Wir können etwas Ähnliches für Polyeder tun.

In einem regelmäßigen Polyeder sind alle Flächen regelmäßige Vielecke von derselben Art und an jeder Ecke trifft die gleiche Anzahl von Flächen aufeinander. Polyeder mit diesen beiden Eigenschaften werden als platonische Körper bezeichnet, benannt nach dem griechischen Philosophen Platon.

Wie sehen also die platonischen Körper aus - und wie viele von ihnen gibt es? Um eine dreidimensionale Form zu erhalten, benötigen wir mindestens Flächen, die sich an jeder Ecke treffen. Beginnen wir systematisch mit dem kleinsten regelmäßigen Polygon: gleichseitige Dreiecke:

Wenn wir ein Polyeder zusammensetzen, so dass an jeder Ecke drei gleichseitige Dreiecke zusammentreffen, erhalten wir den Körper auf der linken Seite. Er wird als Tetraeder bezeichnet und hat Flächen. ("Tetra" bedeutet auf Griechisch "vier").

Wenn sich an jeder Ecke vier gleichseitige Dreiecke treffen, erhalten wir einen anderen platonischen Körper. Er wird Oktaeder genannt und hat Flächen. ("Octa" bedeutet auf Griechisch "acht". So wie "Oktogon" eine 8-seitige Figur meint, meint "Oktaeder" einen 8-seitigen Körper.)

Wenn sich an jeder Ecke Dreiecke treffen, erhalten wir ein Ikosaeder. Es hat Flächen. ("Icosa" bedeutet auf Griechisch "zwanzig".)

Wenn Dreiecke an jeder Ecke zusammentreffen, geschieht etwas anderes: Wir erhalten nur eine Parkettierungein Viereckeinen anderen Ikosaeder, anstelle eines dreidimensionalen Polyeders.

Und sieben oder mehr Dreiecke an jeder Ecke produzieren auch keine neuen Polyeder: Es gibt für so viele Dreiecke nicht genug Platz um eine Ecke herum.

Das bedeutet, dass wir platonische Körper gefunden haben, die aus Dreiecken bestehen. Kommen wir zum nächsten regelmäßigen Vieleck: Quadrate.

Wenn Quadrate an jeder Ecke zusammentreffen, erhalten wir einen Würfel. Genau wie ein Spielwürfel hat er Flächen. Der Würfel wird manchmal auch Hexaeder genannt, nach dem griechischen Wort "hexa" für "sechs".

Wenn sich an jeder Ecke Quadrate treffen, erhalten wir eine ander Parkettierungein Tetraedereinen weiteren Würfel. Und wie zuvor funktioniert es auch hier mit fünf oder mehr Quadrate nicht.

Als nächstes versuchen wir es mit regelmäßigen Fünfecken (Pentagon):

Wenn Fünfecke an jeder Ecke zusammentreffen, erhalten wir ein Dodekaeder. Es hat Flächen. ("Dodeca" bedeutet auf Griechisch "zwölf".)

Wie zuvor sind vier oder mehr Fünfecke nicht möglichmöglich, weil nicht genügend Platz vorhanden ist.

Das nächste regelmäßige Vieleck, das wir untersuchen wollen ist das Sechseck (Hexagon):

Wenn an jeder Ecke drei Sechsecke zusammentreffen, erhalten wir sofort eine Parkettierungein Polyederein Hexaeder. Da es keinen Platz für mehr als drei gibt, scheint es keine platonischen Körper aus Sechsecken zu geben.

Dasselbe gilt auch für alle regelmäßigen Vielecke mit mehr als sechs Seiten. Sie lassen sich nicht zu einer Parkettierung zusammenfügen und man erhält schon gar keine dreidimensionalen Polygone.

Das bedeutet, dass es nur platonische Körper gibt! Schauen wir uns alle auf einmal an:

Tetraeder

Flächen
Ecken
Kanten

Würfel

Flächen
Ecken
Kanten

Oktaeder

Flächen
Ecken
Kanten

Dodekaeder

Flächen
20 Ecken
30 Kanten

Ikosaeder

Flächen
12 Ecken
30 Kanten

Beachte, dass die Anzahl der Flächen und Ecken bei Würfeln und Oktaedern sowie bei Dodekaedern und Ikosaedern vertauscht wirdgleich ist, während die Anzahl der Kanten bei beiden gleich bleibtunterschiedlich ist. Diese Paare platonischer Körper werden als duale Körper bezeichnet.

Wir können ein Polyeder in sein Dual verwandeln, indem wir jede Fläche durch eine Ecke und jede Ecke durch eine Fläche "ersetzen". Diese Animationen zeigen, wie das abläuft:

Das Tetraeder ist dual mit sich selbst. Da es die gleiche Anzahl von Flächen und Eckpunkten hat, würde das Austauschen nichts ändern.

Platon glaubte, dass die ganze Materie im Universum aus vier Elementen besteht: Luft, Erde, Wasser und Feuer. Er dachte, dass jedes Element einem der platonischen Körper entspricht, während das fünfte das Universum als Ganzes darstellen würde. Heute wissen wir, dass es mehr als 100 verschiedene Elemente gibt, die aus kugeligen Atomen und nicht aus Polyedern bestehen.

Bilder aus Johannes Keplers Buch "Harmonices Mundi" (1619)