Bảng chú giải

Select one of the keywords on the left…

Đồ thị và Mạng lướiCông thức Euler

Tiết lộ tất cả các bước

Tất cả các đồ thị phẳng chia mặt phẳng thành nhiều vùng khác nhau, được gọi là các mặt.

Đỉnh
Mặt
Cạnh
11 Đỉnh + Mặt

Đỉnh
Mặt
Cạnh
15 Đỉnh + Mặt

Đỉnh
Mặt
Cạnh
25 Đỉnh + Mặt

Khi so sánh các con số này, bạn sẽ nhận thấy rằng số cạnh luôn ít hơn mộtlớn hơnbằng số mặt cộng với số đỉnh. Hay nói cách khác, F + V = E + 1. Kết quả này được gọi là phương trình Euler đặt theo tên của nhà toán học đã giải bài toán những cây cầu ở Königsberg.

Đáng tiếc là có vô vàn các đồ thị và chúng ta không thể kiểm chứng hết tất cả để chứng minh phương trình của Euler. Thay vào đó chúng ta có thể cố gắng tìm ra một bằng chứng đơn giản có thể áp dụng cho bất kỳ đồ thị nào…

FVE
010

0 + 1  =  0 + 1

Bắt đầu từ đồ thị đơn giản nhất chứa duy nhất một đỉnh. Chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra theo phép tính ở trên đây cho thấy phương trình Euler đúng.
Cho vào thêm một đỉnh. Chúng ta thêm vào 1 cạnh, và phương trình Euler vẫn đúng.
Nếu chúng ta thêm vào đỉnh thứ 3 thì có hai khả năng xảy ra. Chúng ta có thể tạo một tam giác nhỏ: vậy là có thêm một đỉnh, một mặt và hai cạnh, phương trình Euler vẫn đúng.
Hoặc chỉ đơn giản là nối dài đường sẵn có: vậy là có thêm một đỉnh và một cạnh, phương trình Euler đúng.
Cứ tiếp tục như vậy: lúc này chúng ta tạo nên một tứ giác nghĩa là có thêm một đỉnh, hai cạnh và một mặt.Phương trình Euler vẫn đúng.

Bất kỳ đồ thị (có giới hạn) nào đều có thể bắt đầu từ một đỉnh và thêm từng đỉnh mới vào. Chúng ta đã thấy rằng dù thêm đỉnh vào theo cách nào, phương trình Euler vẫn đúng. Do đó phương trình Euler cũng đúng với mọi loại đồ thị. Euler’s equation is valid. Therefore it is valid for all graphs.

Quy trình chúng ta vừa sử dụng để chứng minh phương trình Euler được gọi là phương pháp quy nạp Toán học. Đây là kỹ năng rất hữu dụng sử dụng để chứng minh kết quả của nhiều bài toán khác nhau, đơn giản chỉ bằng khởi điểm từ trường hợp đơn giản nhất, chứng minh kết quả vẫn đúng với mỗi bước phát triển lên thành trường hợp phức tạp hơn. .svg-block: include svg/dominoes.svg

Rất nhiều đồ thị phẳng trông tương tự như mạng lưới của hình đa diện, là những hình không gian ba chiều với đa diện các mặt. Nếu ta xem hình đa diện được làm từ những sợi dây cao su, chúng ta có thể tưởng tượng ra việc kéo chúng về một mặt phẳng, thành các đồ thị phẳng:

Điều này có nghĩa là chúng ta không những có thể sử dụng công thức Euler cho đồ thị phẳng mà còn có thể dùng cho tất cả các hình đa diện - với một điểm khác biệt nhỏ. Khi chúng ta chuyển hình đa diện thành đồ thị, một trong các mặt sẽ biến mất: đó là mặt trên cùng trở thành "vòng ngoài" của đồ thị.

Nói cách khác, nếu bạn đếm số cạnh, mặt and đỉnh của bất kỳ hình đa diện nào, bạn sẽ thấy rằng F + V = E + .

Khối hai mươi mặt
một trong 5 Khối đa diện Platon
20 Mặt, 12 Đỉnh and 30 Cạnh

Khối 60 mặt
một trong 13 Khối đa diện Archimedean
62 Mặt, 60 Đỉnh and 120 Cạnh

Bóng đá, hay Khối 20 mặt cụt
32 Mặt (12 black and 20 white),
60 Đỉnh và90 Cạnh