Bölünebilme ve AsallarEn Küçük Ortak Kat

İki koşucu dairesel bir yarış pistinde antreman yapıyor. İlk koşucu bir turu 60 saniyede yapıyor. İkinci koşucu ise sadece 40 saniyede yapıyor. Eğer ikisi de aynı anda başlarsa ne zaman tekrar aynı noktada olacaklar?

Bu soru aslında yarış pistinin geometrisiyle ya da hız ile alakalı değil - aslında katlar ve bölünebilmeyle alakalı.

İlk koşucu başlangıç çizgisinden 60., 120., 180., 240. ve bu şekilde devam eden saniyelerde geçiyor. Bunlar basitçe 60'ın katlarıçarpanları. İkinci koşucu ise başlangıç çizgisinden 40., 80., 120., 160., ve bu şekilde devam eden saniyelerde geçiyor. Dolayısıyla ikisi de başlangıç çizgisinden ilk defa saniye sonra geçiyor.

By bulduğumuz sayı 40'ın ve 60'ın ortak katlarının en küçüğü. Bu sayıya en küçük ortak kat veya ekok deriz.

İki sayının ekok'unu bulmak için a sayısının b'yi bölüp bölmediğini görmek önemlidir, o halde b sayısı a sayısının asal çarpanlarının tamamını içeriyordur:

Bunu doğrulamak çok kolaydır: Eğer bir asal çarpan a sayısını bölüyorsa ve a da b'yi bölüyorsa, o zaman bu asal çarpan b sayısını da mutlaka böler.

40 ve 60 sayılarının ekok'unu bulmak için, öncelikle ikisinin de asal çarpanlarına ihtiyacımız var:

X sayısının 40 ve 60'ın en küçük ortak katı olduğunu varsayalım. O zaman 40, X'i böler, böylece 2, 2, 2 ve 5 sayıları X'in asal çarpanları olmalı. Ayrıca, 60 da X'i böler, böylece 2, 2, 3 ve 5 sayıları da X'in asal çarpanları olmalı.

X'i bulmak için, 40 ve 60'ın tüm asal çarpanlarını birleştirelim, fakat tekrar edenleri bir defa sayalım:

X  =  2 × 2 × 2 × 3 × 5

Bu bize yukarıda gördüğümüz X'in 120 olduğunu verir. Bir asal çarpan birden çok defa görünüyorsa, 2 gibi, onu sadece hangi sayıda en çok tekrar ediyorsa o kadar defa saymalıyız. (40'ta 3 defa olması 60'ta 2 defa olmasından fazladır).

Artık iki sayının ekok'unu bulmak için basit bir yöntemimiz var:

1. Her sayının asal çarpanlarını bul.
2. Tüm asal çarpanları tekrar edenleri bir defa sayarak bir araya getir.

Aynı yöntemi üç ya da daha fazla sayının ekok'unu tek seferde bulmak için de kullanabiliriz, mesela 12, 30 ve 45:

Böylece 12, 30 ve 45'in ekoku 2 × × 3 × 3 × = 180'dir.

Asal sayılar için özel bir durum: İki asal sayının ekok'u direkt olarak iki sayının çarpımıdırtoplamıdırfarkıdır çünkü bu sayıların “sadeleştirilebilecek” ortak asal çarpanları yoktur.

Ağustos Böcekleri

Hem 13 hem de 17, asal sayıdır - ve bunun çok iyi bir nedeni var. Ortmanda ağustos böceklerini öldüren avcılar olduğunu hayal edin. By avcılar da düzenli aralıklarda ortaya çıkıyorlar - diyelim ki 6 yılda bir olsun.

Şimdi, ağustos böcekleri her ${n} yılda (${isPrime(n) ? 'asal' : 'asal değil'}) bir ortaya çıkıyor olsun. Bu iki hayvan her ${lcm(n,6)} yılda bir aynı anda yeryüzüne çıkıyorlar, bu sayı 6 ve ${n} sayılarının ekok'udurebob'udurçarpımıdır.

Bu sayının, ağustos böceği ortaya çıkış süresi 13, 17 gibi asal bir sayıysa daha büyük olduğu görünüyor. Bunun sebebi asal sayıların 6 ile ortak çarpanları bulunmamasıdır, böylece en küçük ortak kat hesaplanırken tekrar eden asal çarpan olmayacağı için sadeleştiremeyiz.

Tabii ki, ağustos böcekleri asal sayılarla ilgili bir fikre sahip değil - fakat milyonlarca yıldır, evrim asal döngülerin en güvenilir olduğunu ortaya koydu. Avcı hayvanların zamanla soyu tükenmiş görünüyor fakat asal döngüler kalıyor.