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Teilbarkeit und PrimzahlenTeilbarkeitsregeln

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Es gibt ein paar verschiedene Regeln, die es dir überraschend einfach machen können, zu überprüfen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. In diesem Abschnitt werden wir einen Blick auf einige von ihnen werfen....

Teilbarkeit durch 2 und 5

Jede Zahl ist durch 1 teilbar. Um festzustellen, ob eine Zahl durch 2 teilbar ist, müssen wir einfach prüfen, ob sie gerade ist: Jede Zahl, die auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet, ist durch 2 teilbar.

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Um zu sehen, ob eine Zahl durch 5 teilbar ist, müssen wir ebenfalls nur überprüfen, ob ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist:

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Der Grund, warum diese Regeln für 2 und 5 so einfach sind, liegt in unserem Zahlensystem. Die Basis unseres Zahlensystems ist 10, was bedeutet, dass jede Ziffer einer Zahl zehnmal so viel wert ist wie die nächste rechts von ihr. Wenn wir die Zahl 6382 als Beispiel nehmen,

6382
=6000=300=80=2

Jetzt können wir die letzte Ziffer einer Zahl von allen anderen Ziffern trennen:

abcd=abc × 10+d
6382=638 × 10+2

Sowohl 2 als auch 5 sind Teiler von 10, so dass sie abc × 10 immer teilenniemals teilen, egal welche Werte a, b und c haben. Deshalb müssen wir nur die letzte Ziffer überprüfen: Wenn d durch 2 teilbar ist, dann ist die ganze Zahlabc auch durch 2 teilbar. Wenn d durch 5 teilbar ist, dann ist die ganze Zahl durch 5 teilbar.

Am einfachsten ist die Teilbarkeitsregel für 10: Wir müssen nur prüfen, ob die letzte Ziffer eine 0 isterste Ziffer eine 1 istletzte Ziffer gerade ist.

Teilbarkeit durch 4 und 8

Leider lässt sich 10 nicht durch 4 teilen, also können wir nicht einfach die letzte Zahl betrachten - aber 4 teilt 100, also müssen wir unsere Regel von oben nur leicht ändern. Wir schreiben jetzt abcd = ab × 100 + cd. Wir wissen, dass 4 immer ab × 100 teilt, also müssen wir uns die letzten Ziffern ansehen, um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 4 teilbar ist.

Zum Beispiel ist 24 durch 4 teilbar, also ist 273524 auchnicht durch 4 teilbar, und 18 ist nicht durch 4 teilbar, also ist 194718 auch nichtauch durch 4 teilbar.

Die Teilbarkeitsregeln für 8 werden noch etwas schwieriger, da 100 nicht durch 8 teilbar ist. Stattdessen müssen wir bis zu 1000800108 gehen und uns die letzten Ziffern einer Zahl ansehen.

Zum Beispiel ist 120 durch 8 teilbar, also ist 271120 auch durch 8 teilbar.

Teilbarkeit durch 3 und 9

Die Teilbarkeitsregel für 3 ist etwas komplizierter. 3 teilt 10 nicht, und es teilt auch 100 nicht, oder 1000, oder eine andere Potenz von 10. Einfach nur die letzten paar Ziffern einer Zahl zu betrachten wird also nicht funktionieren.

Stattdessen müssen wir die Quersumme einer Zahl verwenden, die einfach die Summe aller ihrer einzelnen Ziffern ist. Zum Beispiel ist die Quersumme von ${13×n+123} ist ${digitSumString(123+13×n)} = ${digitSum(123+13×n)} und die Quersumme von 3524 ist .

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Hier haben wir alle Zahlen hervorgehoben, die ein Vielfaches von drei sind. Wie du siehst sind ihre Quersummen immer ein Vielfaches von 3entweder 0 oder 3ungerade Zahlen.

Um also festzustellen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, musst du nur ihre Quersumme berechnen und prüfen, ob das Ergebnis auch durch 3 teilbar ist.

Als nächstes betrachten wir die Vielfachen von 9:

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Es scheint, dass alle durch 9 teilbaren Zahlen eine Quersumme haben, die auchnicht durch 9 teilbar ist, z.B. ist die Quersumme von 4752 , also gilt: 4752 istist nicht durch 9 teilbar.

Selbstverständlich gibt es für diese seltsamen Muster für Zahlen, die durch 3 und 9 teilbar sind, einen Grund - und wieder hat er mit unserem Zahlensystem auf der Basis von 10 zu tun. Wie wir gesehen haben, bedeutet die Schreibweise der Zahl 6384 eigentlich

6 × 1000 + 3 × 100 + 8 × 10 + 4.

Wir können jedes dieser Produkte in zwei Teile aufteilen:

6 × 999 + 6 + 3 × 99 + 3 + 8 × 9 + 8 + 4.

Natürlich sind 9, 99, 999, 999 usw. immer durch 3 (oder durch 9) teilbar. Es bleibt nur noch zu prüfen, ob das, was übrig bleibt , auch durch 3 (oder 9) teilbar ist:

6 + 3 + 8 + 4

Das ist zufällig die Quersumme! Wenn also die Quersumme ein Vielfaches von 3 ist, und wir wissen, dass alles andere ein Vielfaches von 3 ist, dann muss das Ergebnis auch ein Vielfaches von 3 sein.

Teilbarkeit durch 6

Wir haben jetzt die Nummer 6 übersprungen - aber wir haben bereits die eigentliche Arbeit geleistet. Wie du weißt ist 6 = 2 × 3.

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Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 6 teilbar ist, müssen wir nur prüfen, ob sie durch 2 und auchoder durch 3 teilbar ist. Beachte, dass dies zwar für 6 funktioniert, aber sicherlich nicht für jede Zahl, die das Produkt von zwei anderen ist. Mehr dazu später....