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整除和素数整除规律

揭示所有步驟

有些许的不同规则能够简单的检测一个数是否能被另一个数整除。在本节我们将看看其中的一些规则…

被2和5整除

每个数都能被1整除。为了检测一个数是否能被2整除,我们只需简单的判断它是否为偶数: 任何以0,2,4,6,或8结尾的数。

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为了检测一个数是否能被5整除,仅仅只要判断它的末位数是否为0或5。

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为什么2和5的规律如此简单? 这个原因和我们的数制(进制)有关。现在这个数制的基(进制) 是10,这意味这一个数里的每位数都是其位于右边相邻位时的10倍。如果我们用数6382举例,

6382
=6000=300=80=2

现在我们能够将一个数的末位数从其它的位数里分离开

abcd=abc × 10+d
6382=638 × 10+2

2和5两个都是10的因子,所以它们总能绝不能有时整除 abc × 10, 不管a, bc 的值是多少。因此我们仅仅只 需检测最后一位数: 如果 d 能够被2整除那么该数abc也能被2整除。 如d能被5整除那么该数就能被5整除。

最简单的是被10整除的规则: 末位数是0首位数是1末位数是偶数.

被4和8整除

不幸的是4不能整除10,所以我们不能通过最后一位数来检测 - 但是 4 整除 100, 所以我们只要稍微修改上面的规则。现在我们写成 abcd = ab × 100 + cd. 我们知道4总能整除ab × 100, 所以我们只需要看看末位数能否被4整除.

例如,24 能被4整除,所以273524 也能不能 被4整除, 而 18 不能被4整除所以 194718 也不能也能 被4整除。

被8整除的规则更加复杂点,因为100也不能被8整除。因而我们要继续增大数字到 1000800108然后看看末位数。

例如,120 能被8整除, 所以271120 能够被8整除。

被3和9整除

被3整除的规则愈加的复杂,3不能整除10,而且它也不能整除100,甚至1000,甚至10的 任意次方的数。简单的查看数的末几位也无效。

我们需要另一种方法:数的位和, 就是简单的把一个数每位上的数字相加。例如, ${13×n+123}的位和是 ${digitSumString(123+13×n)} = ${digitSum(123+13×n)} , 因此3524的位和是.

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这里我们已经把所有3的倍数高亮了。你可以看到它们的位和总是3的倍数0或3奇数

因此,判断一个数是否能被3整除,你只需计算它的位和, 然后判断计算结果是否也能被3整除。

下一个,让我们看看9的倍数:

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看起来,所有能被9整除的数它的位和能被9整除。 例如,4752的位和是, 所以4752 不能 被9整除。

当然,被3和9整除的数具有的奇特模式肯定有什么原因 – 就像之前的和我们的数基(10进制) 相关。 正如我们知道,写下数6384 的同时也是可以这样表示:

6 × 1000 + 3 × 100 + 8 × 10 + 4.

我们能将每个乘积拆分成两个部分:

6 × 999 + 6 + 3 × 99 + 3 + 8 × 9 + 8 + 4.

当然, 9, 99, 999, 诸如等等都总是能被3 (或被9)整除。剩下的事就是:检测所有那些剩下的是否也能被3(或9)整除。

6 + 3 + 8 + 4

这正好是数位和! 所以如果它的数位和 是3的一个倍数, 而且我们知道 其它每部分也是3的倍数, 那么其结果也一定是3的一个倍数。

被6整除

目前我们还是跳过了数字6 – 但是我们已经完成了所有的难搞的工作。记住一点 6 = 2 × 3.

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为了检测一个数是否能被6整除我们只用检测它是否能被2整除同时也被3整除。 注意到这对6有效,但是不一定对 任意 两个数的乘积数有效。关于那我们稍后再论…