Sözlük

Select one of the keywords on the left…

Çemberler ve PiGiriş

Okuma zamanı: ~30 min
Tüm Adımları Göster

İnsanlar oldum olası gökyüzüne baktılar ve Dünya’daki yaşamı yıldızların, gezegenlerin ve ayın hareketleri ile açıklamaya çalıştılar.

Antik Yunanlı astronomlar, gök cisimlerinin yörünge dediğimiz düzenli yollar üzerinde hareket ettiğini bulan ilk kişilerdi. Bu yörüngelerin çembersel olduğunu düşünüyorlardı. Sonuçta çember en “mükemmel” şekildi: her yönde simetrik ve bu sebeple evrenin düzenini altında yatmaya uygun bir tercih.

Ptolemy evreninde Dünya merkezde.

Çember üzerindeki her noktanın merkeze uzaklığı aynıdır. Yani bu noktalar bir pergel yardımıyla çizilebilir.

Çember ile ilgili bilmeniz gereken üç önemli ölçü var:

  • Yarıçap çemberin merkezi ile üzerindeki noktaların arasındaki mesafedir.
  • Çap çemberin iki zıt noktası arasındaki mesafedir. Çemberin merkezinden geçer ve uzunluğu yarıçapın iki katıdıryarısıdıraynısıdır.
  • Çevre çemberin etrafındaki uzunluktur.

Çemberin önemli bir özelliği, bütün çemberlerin benzer olmasıdır. Bunu kanıtlamak için bütün çemberlerin sadece öteleme ve genleşme hareketleriyle örtüşeceğini gösterebilirsiniz:

Benzer çokgenler için karşılık gelen kenarların oranının hep sabit kaldığını hatırlıyor olabilirsiniz. Çember için de benzer bir durum söz konusu: Bütün çemberler için çevre ile çapın oranı aynıdır. Her zaman 3.14159…, Yunanca “p” harfi için kullanılan π ile gösterdiğimiz, Pi adındaki gizemli bir sayı. Pi’nin herhangi bir düzen izlemeden sonsuza kadar giden ondalık basamakları vardır:

Burada çapı 1 olan bir tekerlek var. Çevresini “açtıkça” uzunluğunun tam olarak π2·π3 olduğunu görebilirsiniz:

01234π

Çapı d olan bir çemberin çevre uzunluğu C=π×ddir. Benzer şekilde yarıçapı r olan bir çemberin çevre uzunluğu

C= 2πrπrπr2dir.

Çemberler tamamen simetriktir, bir çokgenin köşelerinde olduğu gibi “zayıf noktaları” yoktur. Doğada her yerde karşımıza çıkmalarının bir sebebi de bu:

Çiçekler

Gezegenler

Ağaçlar

Meyve

Köpükten Baloncuklar

Ve bunun gibi daha pek çok örnek var: gökkuşağından tutun da sudaki dalgalara kadar. Başka bir örnek aklınıza geliyor mu?

Ayrıca çember, verilen bir çevre uzunluğu için en geniş alana sahip şekil. Örneğin elinizde 100 m uzunluğunda bir ip varsa, bununla en büyük alanı bir çember oluşturarak kapatabilirsiniz(dikdörtgen ya da üçgen gibi başka şekiller ile değil).

Doğada su damlası ya da hava kabarcığı gibi nesneler yüzey alanlarını küçülterek çembersel ya da küresel hale gelerek enerjiden tasarruf edebilirler.

Üçgen
Kare
Beşgen
Çember

Çevre uzunluğu = 100, Alan = ${area}

Çemberin Alanı

Peki ama bir çemberin alanını nasıl hesaplayabiliriz? Hadi dörtgenlerin alanını bulurken kullandığımız tekniği deneyelim: şekli çeşitli parçalara bölelim, ve bu parçaları alanını daha önceden bildiğimiz(üçgen ya da dikdörtgen gibi) bir şekil biçiminde birleştirmeye çalışalım.

Aradaki tek fark, çemberler eğri olduğu için bazı yaklaşımlar kullanmamız gerekmesi:

rπr

Burada bir çemberin ${n1} dilime bölündüğünü görebilirsiniz. Dilimleri hizalamak için çubuğu kaydırın.

Dilim sayısını ${n1}’a çıkarırsak, bu şekil gittikçe daha çok bir dikdörtgeneçemberekareye benzeyecek.

Dikdörtgenin yüksekliği çemberin yarıçapınaçevre uzunluğunaçapına eşit. Dikdörtgenin uzunluğu çemberin çevre uzunluğunun yarısınaçevre uzunluğunayarıçapının iki katına eşit. (Dilimlerin yarısının aşağı, yarısının yukarı baktığına dikkat edin.)

Yani dikdörtgenin toplam alanı yaklaşık olarak A=πr2.

r2πr

Burada çemberin ${n} halkalara bölünmüş halini görebilirsiniz. Daha önce yaptığımız gibi, çubuğu kaydırarak halkaları “açabilirsiniz”.

Halka sayısını ${n2}’e değiştirirsek, bu şekil gittikçe daha çok bir üçgenedikdörtgeneyamuğa benzeyecek.

Üçgenin yüksekliği çemberin yarıçapınaçapınaçevre uzunluğuna eşit. Üçgenin taban uzunluğu çemberin çevre uzunluğunaçapının iki katına eşit. O halde üçgenin toplam alanı yaklaşık olarak

A=12taban×yükseklik=πr2.

Eğer sonsuz tane halka ya da dilim kullanabilseydik yukarıdaki yaklaşımlar tam olarak eşitlik olurdu, ve ikisi de bize çemberin alan formülünü verirdi:

A=πr2.

Pi’yi Hesaplamak

Yukarıda gördüğünüz gibi π=3.1415926 basit bir tamsayı değil ve ondalık basamakları bir düzen takip etmeden sonsuza kadar gidiyor. Bu özelliğe sahip sayılara irrasyonel sayılar denir, ve bu πnin ab şeklinde basit bir kesir olarak da ifade edilemeyeceği anlamına gelir.

Aynı zamanda Pi’nin bütün basamaklarını yazamayacağımız anlamına da gelir, sonuçta bunlardan sonsuz tane var. Antik Yunanlı ve Çinli matematikçiler çemberlere çokgenlerle yaklaşarak Pi’nin virgülden sonraki 4 basamağını hesapladılar. Daha fazla kenar ekledikçe çokgenin nasıl da daha çokdaha aztam olarak çembere benzediğine bakın:

1665’te Isaac Newton virgülden sonraki 15 basamağını hesaplamayı başardı. Bugün Pi’nin değerini güçlü bilgisayarları kullanarak çok daha ileriye kadar hesaplayabiliyoruz.

Şu andaki rekor 31.4 trilyon basamak. Bütün bu basamakların yazılı olduğu bir kitabın kalınlığı yaklaşık 400 km olurdu, Uluslararası Uzay İstasyonunun yörünge yüksekliği kadar.

Tabi ki Pi’nin bir sürü basamağını hatırlamanıza gerek yok. Gerçekte 227=3.142 kesiri gayet iyi bir yaklaşım.

Pi’yi hesaplamaya yönelik bir yaklaşım sonsuz sayı serilerini kullanmak. İşte 1676’da Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından bulunan sonsuz bir seri:

π=4143+4547+494+

Bu serinin gittikçe daha çok terimini hesaba katarak Pi’ye gittikçe daha çok yaklaşık bir değer buluruz.

Burada Pi'nin ilk 100 basamağını görebilirsiniz. Basamakların nasıl bir dağılımı olduğunu görmek için bir karenin üzerine gidebilirsiniz.

Çoğu matematikçi Pi’nin daha da ilginç bir özelliği olduğunu düşünüyor: onun bir normal sayı olduğunu düşünüyorlar. Bu şu demek: Pi’nin değerini belirlemek için 0’dan 9’a kadar olan sayılar tamamen rastgele olarak seçilmiş, sanki doğa 10 yüzlü bir zarı sonsuz defa atayım demiş.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Eğer Pi normal ise, bu şu demek: aklınıza gelen herhangi bir sayı Pi’nin basamaklarının arasında bir yerde olacaktır. Burada Pi’nin ilk bir milyon basamağında arama yapabilirsiniz. Sizin doğum gününüz Pi’nin basamaklarında var mı?

Pi’nin Bir Milyon Basamağı

Bir sayı dizisi arayabilirsiniz:
3.

İstersek Harry Potter gibi koca bir kitabın tamamını çok çok uzun bir sayı dizgesine çevirebiliriz(a = 01, b = 02 gibi). Eğer Pi normak ise, bu sayı dizgesi Pi’nin basamaklarında bir yerde olacaktır, fakat onu bulmak için gereken basamakları hesaplamak milyonlarca yıl alacaktır.

Pi’yi anlaması kolay ve bilimde ve matematikte muazzam bir öneme sahip. Bunun Pi’nin (en azından diğer matematik konularına kıyasla) kültürümüzde alışılmadık bir popülerliğe sahip olmasında bir rolü olabilir.

Pi “Müzede Bir Gece 2”deki tabletin gizli şifresi.

Profesör Frink (“Simpsons”) Pi’nin 3’e eşit olduğunu söyleyerek bir oda dolusu bilim adamını susturuyor.

Spock (“Uzay Yolu”) kötü niyetli bir bilgisayarı Pi’nin son basamağını hesaplamasını isteyerek etkisiz hale getiriyor.

Her yıl kutlanan bir Pi günü bile var. Tarihi π3.14 olduğu için 14 Mart ya da π227 olduğu için 22 Temmuz olarak geçiyor.