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Kreise und PiTangenten, Sehnen und Kreisbögen

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In den vorangegangenen Abschnitten hast du die Bezeichnungen für die verschiedenen Teile eines Kreises gelernt - wie Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Umfang. Es gibt jedoch im Zusammenhang mit Kreisen viele geometrische Elemente, die wir zur Lösung komplexerer Aufgaben benötigen:

  • Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet.
  • Eine Sehne ist eine Strecke, deren Endpunkte auf dem Umfang eines Kreises liegen.
  • Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis an genau einem Punkt berührt. Man nennt ihn den Berührungspunkt.
  • Ein Kreisbogen ist ein Ausschnitt aus dem Umfang eines Kreises.
  • Ein Sektor ist ein Teil des Inneren eines Kreises, begrenzt durch einen Kreisbogen und zwei Radien.
  • Und ein Segment ist ein Teil des Inneren eines Kreises, begrenzt durch einen Kreisbogen und eine Sehne.

In diesem Abschnitt werden wir uns mit der Beziehung zwischen all diesen Elementen befassen und Sätze zu ihren Eigenschaften beweisen. Mach dir jetzt einmal keine Sorgen, dass du dir alle diese Definitionen merken musst - du kannst jederzeit im Glossar nachschlagen.

Tangenten

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Sehnen

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Kreisbögen und Sektoren

Die meisten Wissenschaftler im antiken Griechenland waren sich einig, dass die Erde eine Kugel ist. Es gab dafür viele Hinweise: von Schiffen, die auf See hinter dem Horizont verschwanden, bis hin zur Kreisbewegung der Sterne in der Nacht.

Leider wusste niemand genau, wie groß die Erde war - bis etwa 200 v. Chr., als der Mathematiker Eratosthenes eine geniale Möglichkeit fand, den Erdradius mit Hilfe einfachster Geometrie zu bestimmen. Alles, was wir benötigen, ist etwas mehr Wissen über die Kreisbögen und Sektoren eines Kreises.

Wie du im Diagramm sehen kannst, ist ein Kreisbogen ein Teil des UmfangsDurchmesserRadius eines Kreises, und ein Sektor ist ein Teil des KreisinhaltsRadiusUmfangs eines Kreises.

Der Kreisbogen zwischen zwei Punkten A und B wird oft als AB geschrieben. Diese Definition ist etwas zweideutig: Es gibt einen zweiten Kreisbogen, der A und B verbindet, aber den anderen Weg um den Kreis herum geht.

Der kleinere der beiden Bögen wird als Minor bezeichnet, der größere als Major. Wenn die Punkte A und B genau gegenüberliegen, haben beide Bögen die gleiche Länge und sind HalbkreiseDurchmesserUmfänge.

Um die Länge eines Bogens oder die Fläche eines Sektors zu ermitteln, müssen wir den entsprechenden Winkel in der Mitte des Kreises kennen: dieser wird als Mittelpunktswinkel bezeichnet.

Beachte, dass Bogen, Sektor und Winkel jeweils den gleichen Anteil eines Vollkreises einnehmen. Wenn beispielsweise der Mittelpunktswinkel 90° ist, nimmt er ein Vierteldie Hälfteein Drittel von einem Vollkreis ein.

Das bedeutet, dass die Länge des Kreisbogens auch 14 des gesamten Umfangs des Kreises ist, und die Fläche des Sektors 14 der gesamten Fläche des Kreises.

Wir können diese Beziehung in einer Gleichung ausdrücken:

KreisbogenlängeUmfang=SektorflächeKreisradiusWinkelflächeKreisfläche=Mittelpunktswinkel360°180°90°

Jetzt können wir diese Gleichungen umformen, um die Variable zu bestimmen, die uns interessiert. Zum Beispiel,

Kreisbogenlänge=Umfang×c360
=2rπ×c360
Sektorfläche=Kreisfläche×c360
=r2π×c360

wobei r der Radius des Kreises ist und c die Größe des Mittelpunktswinkels ist.

Wenn der Mittelpunktswinkel in Radiant anstatt in Grad angegeben wird, können wir die gleichen Gleichungen verwenden, müssen aber 360° durch 2π12ππ ersetzen:

Kreisbogenlänge=2rπ×c2π
=r×c
Sektorfläche=r2π×c2π
=12r2c

Beachte, wie die Gleichungen viel einfacher werden, und π überall weggekürzt wird, da, wie du dich vielleicht erinnern kannst, die Definition von Radiant im Grunde genommen nichts anderes als die Länge eines Kreisbogens in einem Kreis mit dem Radius 1 ist.

Nun wollen wir uns ansehen, wie wir Kreisbögen und Sektoren verwenden können, um den Umfang der Erde zu berechnen.

Im alten Ägypten gab es am Nil eine Stadt namens Syene. Syene war berühmt für einen Brunnen mit einer seltsamen Eigenschaft: jedes Jahr zu einem bestimmten Zeitpunkt - mittags am 21. Juni, dem Tag der Sommersonnenwende - spiegelte sich das Sonnenlicht am Grund des Brunnens. Zu diesem Zeitpunkt wurde der Boden des Brunnens beleuchtet, aber nicht die Seitenwände seines Schachts. Die Sonne stand also direkt über dem Brunnen.

Die alten Ägypter haben lange Strecken gemessen, indem sie die Anzahl der Schritte gezählt haben, die sie gemacht haben, um diese abzugehen.

Einige Quellen sagen, dass der “Brunnen von Eratosthenes” auf der Flussinsel Elephantine im Nil lag.

Der Mathematiker Eratosthenes lebte in Alexandria, etwa 800 km nördlich von Syene, wo er Direktor der berühmten „großen Bibliothek“ war. Im Stadtzentrum von Alexandria stand ein Obelisk, ein hohes, schmales Denkmal mit einer pyramidenförmigen Spitze.

Eratosthenes bemerkte, dass der Obelisk am Mittag des Tages der Sommersonnenwende einen Schatten warf - was bedeutete, dass die Sonne hier nicht direkt über ihm stand. Er schloss daraus, dass dies an der Krümmung der Erde liegen musste, und erkannte, dass dieser Umstand zur Berechnung des Umfangs der Erde verwendet werden konnte.

Hier siehst du den Brunnen in Syene sowie den Obelisken in Alexandria, die Sonnenstrahlen fallen direkt in den Brunnen, treffen aber schräg auf den Obelisken und werfen einen Schatten.

Eratosthenes machte eine Messung des Winkels dieses Schattens. Der Winkel betrug 7,2°. Dieser Wert muss mit dem Mittelpunktswinkel des Kreisbogens von Alexandria nach Syene übereinstimmen, da es sich bei beiden um WechselwinkelKomplementärwinkelSupplementärwinkel handelt.

Nun können wir die Formel für die Kreisbogenlänge verwenden, die wir oben hergeleitet haben:

KreisbogenlängeErdumfang=°360°

Wenn wir diese umformen, stellen wir fest, dass der Umfang der Erde sich so berechnen lässt:

Erdumfang=360°7.2°×800 km=km

Wie wir wissen, ist der Umfang eines Kreises u=2rπ, also ist der Radius der Erde

rErde=40000km2π6400km.

Eratosthenes' Messung war eines der wichtigsten Experimente der Antike. Seine Schätzung der Größe der Erde war überraschend genau, besonders wenn man bedenkt, dass er nur Zugang zu sehr einfachen Messwerkzeugen hatte.

Natürlich gestaltet es sich etwas schwierig, seine ursprünglichen Ergebnisse in moderne Einheiten wie Kilometer umzuwandeln. Im antiken Griechenland wurde die Entfernung in Stadien (ca. 160 m) gemessen, aber es gab keinen allgemein gültigen Standard dafür. Jedes Gebiet verwendete eine etwas andere Länge, und wir wissen nicht, welche Eratosthenes verwendet hat.

In den folgenden Jahrhunderten versuchten die Wissenschaftler, den Radius der Erde mit anderen Methoden zu berechnen - manchmal mit sehr unterschiedlichen und falschen Ergebnissen.

Es war eine dieser falschen Messungen, die Christoph Kolumbus veranlasste, von Portugal aus nach Westen zu segeln. Er nahm an, dass die Erde viel kleiner war, als sie tatsächlich ist, und hoffte, Indien zu erreichen. Tatsächlich gelangte er auf einen anderen Kontinent dazwischen: den amerikanischen.

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