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Kreise und PiGrad und Radiant

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Bisher haben wir in der Geometrie immer Winkel in Grad gemessen. Eine vollständige Umdrehung hat °, eine halbe hat °, eine Viertelumdrehung hat °, und so weiter.

Die Zahl 360 ist sehr praktisch, da sie durch so viele andere Zahlen teilbar ist: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 und so weiter. Das bedeutet, dass viele Bruchteile eines Kreises praktischerweise ganze Zahlen sind. Aber hast du dich jemals gefragt , wie man überhaupt auf die Zahl 360 gekommen ist?

Tatsächlich sind 360 Grad eines der ältesten Konzepte der Mathematik, die wir heute noch anwenden. Man kann es bis ins alte Babylon zurückverfolgen, wo es vor mehr als 5000 Jahren entwickelt worden ist!

Zu dieser Zeit war eine der wichtigsten Anwendungen der Mathematik die Astronomie. Die Sonne bestimmt die vier Jahreszeiten, über die die Bauern beim Anbau von Pflanzen Bescheid wissen müssen. Ebenso bestimmt der Mond die Gezeiten, was für die Fischer wichtig war. Die Menschen studierten auch die Sterne, um die Zukunft vorherzusagen oder mit den Göttern zu kommunizieren.

Eine babylonische Tafel zur Berechnung von 2

Astronomen bemerkten, dass sich die zu einer bestimmten Zeit während der Nacht sichtbaren Konstellationen jeden Tag ein wenig verschoben haben - bis sie nach etwa 360 Tagen wieder zu ihrem Ausgangspunkt zurückgekehrt waren. Und das mag der Grund gewesen sein, warum sie den Kreis in 360 Grad unterteilt haben.

Mitternacht am Tag ${day}

Natürlich sind es eigentlich 365 Tage in einem Jahr (genauer gesagt 365,242199), aber babylonische Mathematiker arbeiteten mit einfachen Sonnenuhren, und diese Annäherung war völlig ausreichend.

Es funktionierte auch gut mit dem bestehenden 60er Zahlensystem (weil 6×60=360). Dieses System ist der Grund, warum wir immer noch 60 Sekunden in einer Minute und 60 Minuten in einer Stunde verwenden - obwohl die meisten anderen Einheiten im Dezimalsystem angegeben werden (zB. ein Jahrzent für 10 Jahre, ein Jahrhundert für 100 Jahre).

Für viele von uns ist die Winkelmessung in Grad eine Selbstverständlichkeit: Es gibt 360°-Videos, Skateboarder können 540° Drehungen ausführen, und jemand, der seine Entscheidung ändert, macht eine Kehrtwendung um 180°.

Aber aus mathematischer Sicht ist die Wahl von 360 völlig willkürlich. Wenn wir auf dem Mars leben würden, könnte ein Kreis 670° und ein Jahr auf dem Jupiter sogar 10.475 Tage haben.

Der 540 McFlip, eine Drehung um 540°

Radiant

Anstatt einen Kreis in eine bestimmte Anzahl von Teilbereiche (z.B. 360 Grad) aufzuteilen, ziehen Mathematiker es oft vor, Winkel mittels des Umfangs eines Einheitskreises (eines Kreises mit dem Radius 1) anzugeben.

Ein ganzer Kreis hat dann einen Umfang .

Bei einer halben Drehung beträgt der entsprechende Abstand entlang des Umfangs .

Bei einer Viertelumdrehung beträgt der Abstand entlang des Umfangs .

Und so weiter: Diese Art der Winkelmessung wird als Radiant („Bogenmaß“) bezeichnet (als Eselsbrücke könntest du dir “Radanteile” für die Teile des Umfangs eines Rads merken).

Jeder Winkel in Grad hat dabei eine gleichwertige Größe in Radiant. Die Umrechnung zwischen den beiden ist sehr einfach - so wie man zwischen anderen Einheiten wie Metern und Kilometern oder Celsius und Fahrenheit umrechnen kann:

360° = 2π rad


= π180180π360π rad


1 rad = 180π180π2π360 °

Du kannst den Radiantwert entweder als Vielfaches von π oder als einzelne Dezimalzahl schreiben. Kannst du diese Tabelle mit den entsprechenden Winkelgrößen in Grad und Radiant ausfüllen?

Grad060180
Radiant0232π

Zurückgelegte Strecke

Man kann sich Radiant als die zurückgelegte Wegstrecke entlang des Umfangs eines Einheitskreises vorstellen. Dies ist besonders nützlich bei der Arbeit mit Objekten, die sich auf einer Kreisbahn bewegen.

Zum Beispiel umkreist die Internationale Raumstation die Erde einmal alle 1,5 Stunden. Das bedeutet, dass ihre Drehgeschwindigkeit 2π1.5 1.52π1.5·π Radiant pro Stunde beträgt.

In einem Einheitskreis ist die Drehgeschwindigkeit gleich der tatsächlichen, Geschwindigkeit, da die Länge des Umfangs gleich einer vollen Umdrehung in Radiant ist (beide sind 2π).

Der Radius der ISS-Umlaufbahn beträgt 6800 km, was bedeutet, dass die tatsächliche Geschwindigkeit der ISS 2π1.5×6800 2π1.5÷680068002·π = 28483 km pro Stunde betragen muss

${round(p*1.5,1)}h

Wie du siehst sind in diesem Beispiel Radiant die viel bequemere Einheit als Grad. Sobald wir die Drehgeschwindigkeit kennen, müssen wir einfach mit dem Radius multiplizieren, um die tatsächliche Drehgeschwindigkeit zu erhalten.

Hier ist ein weiteres Beispiel: Dein Auto hat Reifen mit einem Radius von 0,25 m. Wenn du mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s fährst, drehen sich die Reifen deines Autos mit 200.25=8020×0.25=50.2550=0,125 Radiant pro Sekunde (oder 802π=13 Umdrehungen pro Sekunde)

Trigonometrie

Für die meisten einfachen Geometrieaufgaben sind Grad und Radiant völlig austauschbar - Du kannst entweder wählen, welche du bevorzugst, oder in der Frage wird schon festgelegt, in welcher Einheit man antworten soll. Sobald du dich jedoch tiefer mit Trigonometrie oder Infinitesimalrechnung auseinandersetzt, wirst du feststellen, dass Radiant viel bequemer zu handhaben sind als das Gradmaß.

Die meisten Taschenrechner verfügen über eine spezielle Taste, um zwischen Grad und Radiant zu wechseln. Trigonometrische Funktionen wie sin, cos und tan nehmen Winkel als Eingabe an, und ihre inversen Funktionen arcsin, arccos und arctan geben Winkel zurück. Die Einstellung des aktuellen Taschenrechners bestimmt, welche Einheiten für diese Winkel verwendet werden.

Versuche folgende Rechnungen mit dem Rechner nachzuvollziehen

sin(30°) = cos(1°) =
sin(30 rad) = cos(1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

Die Verwendung von Radiant hat einen besonders interessanten Vorteil bei der Verwendung der Sinus-Funktion. Wenn θ ein sehr kleiner Winkel ist (weniger als 20° oder 0,3 rad), dann gilt sinθθ. Zum Beispiel,

sin(${x}) ${sin(x)}

Dies wird als Kleinwinkelnäherung bezeichnet und kann bestimmte Gleichungen, die trigonometrische Funktionen enthalten, erheblich vereinfachen. Wir werden darauf später noch näher eingehen.