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Kreise und PiKegelschnitte

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Der Kreis ist eine von vier verschiedenen Formen, die durch "Schnitte" durch einen Kegel erzeugt werden können. Das kann am Lichtkegel einer Taschenlampe demonstriert werden:

Kreis

Ellipse

Parabel

Hyperbel

Wenn du die Taschenlampe senkrecht nach unten richtest, siehst du einen Kreiseine Ellipseein Oval aus Licht. Wenn du den Lichtkegel neigst, wird daraus eine Ellipse. Wenn du ihn noch weiter kippst, bekommst du eine Parabel oder eine Hyperbel.

Zusammenfassend werden diese vier Formen als Kegelschnitte bezeichnet. Auch wenn sie alle sehr unterschiedlich aussehen, sind sie doch eng miteinander verbunden: Tatsächlich können sie alle nach der gleichen Gleichung erzeugt werden!

Kegelschnitte wurden zunächst vom altgriechischen Mathematiker Apollonius von Perge untersucht, der ihnen auch ihre ungewöhnlichen Namen gab.

In späteren Kursen wirst du noch viel mehr über Parabeln und Hyperbeln erfahren. Lass uns zunächst einen genaueren Blick auf die Ellipse werfen.

Ellipsen

Eine Ellipse sieht irgendwie fast wie ein "länglicher Kreis" aus. Tatsächlich könnte man sie sich als einen Kreis mit zwei Mittelpunkten vorstellen - diese werden als Brennpunkte bezeichnet. So wie jeder Punkt auf einem Kreis den gleichen Abstand von seiner Mitte hat, so hat jeder Punkt auf einer Ellipse die gleiche Summe der Abstände zu seinen beiden Brennpunkten.

Wenn du eine lange Schnur mit zwei Fixpunkten verbindest, kannst du eine perfekte Ellipse zeichnen, indem du die Schnur gespannt hältst und so ganz herum zeichnest:

KOMMT BALD! Ellipsenzeichnung interaktiv

Es gibt viele andere Darstellungsformen, mit denen man eine Ellipse zeichnen könnte:

Zahnräder (Spirograph)

Elipsenzirkel

Scheibe

Schaukel

Planetenbahnen

Du erinnerst dich vielleicht an die Einleitung zu diesem Kurs, und dass altgriechische Astronomen glaubten, dass die Erde im Mittelpunkt des Universums steht und dass sich Sonne, Mond und Planeten auf kreisförmigen Bahnen um die Erde bewegen.

Zu ihrem Leidwesen hat die astronomische Beobachtung des Himmels dies nicht wirklich bestätigt. So schien beispielsweise die Sonne in einigen Jahreszeiten größer und in anderen kleiner. Auf einem Kreis sollte aber jeder Punkt den gleicheneinen zunehmenden einen abnehmendem Abstand von seinem Mittelpunkt haben.

Der griechische Astronom Hipparchus von Nicäa

Um das zu beheben, fügten Astronomen Epizykeln zu ihrem Modell des Sonnensystems hinzu: Planeten bewegen sich auf einem großen Kreis um die Erde, während sie sich gleichzeitig auf einem kleineren Kreis drehen. Obwohl sehr kompliziert, war dies das am weitesten verbreitete Modell unseres Universums für mehr als 1000 Jahre:

Dieser Planet dreht sich in ${n} kleinen Kreisen (den Epizykeln) während er sich in einer großen Kreisbahn (dem Deferent) bewegt.

Eine Zeichnung aus dem 16. Jahrhundert mit Epizykeln im geozentrischen Modell. Das griechische Wort "planetes" bedeutet "Wanderer".

Im Laufe der Zeit erkannten die Menschen, dass die Erde nur einer von vielen Planeten ist, die die Sonne umkreisen (das heliozentrische Modell), aber erst 1609 entdeckte der Astronom Johannes Kepler, dass sich die Planeten eigentlich auf elliptischen Bahnen bewegen.

Die Sonne steht in einem der beiden Brennpunkte dieser Ellipsen. Die Planeten beschleunigen sich, wenn sie der Sonne näher kommen, und verlangsamen sich, wenn sie sich weiter entfernen.

Ein paar Jahrzehnte später konnte Isaac Newton Keplers Beobachtungen mit seinen neu entwickelten Gesetzen der Schwerkraft beweisen. Newton erkannte, dass es eine Kraft zwischen zwei beliebigen Massen im Universum gibt - ähnlich wie die Anziehungskraft zwischen zwei Magneten.

Die Schwerkraft ist es, die alles auf den Boden fallen lässt, und die Schwerkraft ist es auch, die die Planeten sich um die Sonne herum bewegen lässt. Nur die große Geschwindigkeit, mit der sich die Planeten bewegen, verhindert, dass sie direkt in die Sonne fallen.

Frits Ahlefeldt

Anhand der Newtonschen Gesetze kann man den Weg bestimmen, den Objekte nehmen, wenn sie sich unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegen. Es stellt sich heraus, dass sich Planeten auf Ellipsen bewegen, aber andere Objekte wie Kometen können auf parabolischen oder hyperbolischen Bahnen unterwegs sein: Sie fliegen nahe zur Sonne, bevor sie um sie herum fliegen und ins Universum schießen und nie wieder zurückzukehren.

Der Legende nach inspirierte ein fallender Apfel Newton dazu, sich Gedanken über die Schwerkraft zu machen. Er war einer der einflussreichsten Wissenschaftler aller Zeiten, und seine Ideen prägten fast 300 Jahre lang unser Weltbild - bis Albert Einstein 1905 die Relativitätstheorie entdeckte.